Suavizado forward-backward

Mirar atrás con perspectiva

El algoritmo forward da probabilidades filtradas: nuestra creencia sobre el día $t$ usando solo los datos hasta el día $t$ . Con todo el historial podemos hacerlo mejor para el pasado. Si el día 1 parecía tranquilo pero los días 2 y 3 tuvieron movimientos grandes, esos días posteriores nos dicen algo del día 1. El suavizado usa todos los datos. Necesita una segunda cantidad $\beta_t(i)$ : la probabilidad de las observaciones posteriores al día $t$ , dado que el día $t$ está en el estado $i$ . Se calcula hacia atrás, desde $\beta_T=1$ .

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

El producto $\alpha_t(i)\beta_t(i)$ es la probabilidad de todos los datos junto con estar en el estado $i$ el día $t$ : $\alpha$ cubre el pasado y hoy, $\beta$ cubre el futuro. Dividir por la suma sobre los estados da la probabilidad suavizada $\gamma_t(i)$ , la creencia sobre el día $t$ dada toda la muestra. Sumar $\alpha_t\beta_t$ sobre los estados da el mismo número para todo $t$ , la probabilidad de los datos. Las probabilidades suavizadas son la herramienta correcta para describir el pasado, por ejemplo para etiquetar regímenes históricos. Son la herramienta equivocada para operar, porque el propio día el futuro no se conoce.

El día 1 con perspectivaPara Pequeño, Grande, Grande:

\beta_3=(1,\ 1)

. Luego

\beta_2(T)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(S)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Después

\beta_1(T)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(S)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Con

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, que suman

0{,}0691

, la probabilidad de los datos. Así que la probabilidad suavizada de Tranquilo el día 1 es

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, frente a

0{,}82

filtrada. Los dos movimientos grandes que vinieron después nos hicieron cambiar de idea.

Valores backward $\beta_t(i)$ : la probabilidad de todas las observaciones posteriores dado el estado del día $t$ .
Suavizado $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : la creencia sobre el día $t$ dados todos los datos, pasados y futuros.
Solo para describir el pasado: las probabilidades suavizadas usan datos futuros, así que no sirven para operar.

Lab: qué se califica

Un valor backward15 pts
Otro valor backward15 pts
La probabilidad suavizada de tormentoso15 pts
Una comprobación de la suma10 pts
Filtrado frente a suavizado10 pts
Qué añade el suavizado10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué difieren suavizado y filtrado15 pts

Mirar atrás con perspectiva

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

El día 1 con perspectivaPara Pequeño, Grande, Grande:

\beta_3=(1,\ 1)

. Luego

\beta_2(T)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(S)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Después

\beta_1(T)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(S)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Con

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, que suman

0{,}0691

, la probabilidad de los datos. Así que la probabilidad suavizada de Tranquilo el día 1 es

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, frente a

0{,}82

filtrada. Los dos movimientos grandes que vinieron después nos hicieron cambiar de idea.

Valores backward $\beta_t(i)$ : la probabilidad de todas las observaciones posteriores dado el estado del día $t$ .
Suavizado $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : la creencia sobre el día $t$ dados todos los datos, pasados y futuros.
Solo para describir el pasado: las probabilidades suavizadas usan datos futuros, así que no sirven para operar.

Lab: qué se califica

Un valor backward15 pts
Otro valor backward15 pts
La probabilidad suavizada de tormentoso15 pts
Una comprobación de la suma10 pts
Filtrado frente a suavizado10 pts
Qué añade el suavizado10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué difieren suavizado y filtrado15 pts

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