Forward-Backward-Glättung

Mit Abstand zurückblicken

Der Forward-Algorithmus liefert gefilterte Wahrscheinlichkeiten: unsere Überzeugung über Tag $t$ nur mit den Daten bis Tag $t$ . Hat man die ganze Historie, kann man für die Vergangenheit mehr tun. Sah Tag eins ruhig aus, aber Tag zwei und drei hatten große Bewegungen, sagen uns diese späteren Tage etwas über Tag eins. Die Glättung nutzt alle Daten. Sie braucht eine zweite Größe $\beta_t(i)$ : die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen nach Tag $t$ , wenn Tag $t$ im Zustand $i$ ist. Sie wird rückwärts berechnet, beginnend mit $\beta_T=1$ .

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

Das Produkt $\alpha_t(i)\beta_t(i)$ ist die Wahrscheinlichkeit aller Daten zusammen mit Zustand $i$ an Tag $t$ : $\alpha$ deckt Vergangenheit und heute ab, $\beta$ die Zukunft. Teilt man durch die Summe über die Zustände, erhält man die geglättete Wahrscheinlichkeit $\gamma_t(i)$ , die Überzeugung über Tag $t$ bei der ganzen Stichprobe. Die Summe von $\alpha_t\beta_t$ über die Zustände ergibt für jedes $t$ dieselbe Zahl, die Wahrscheinlichkeit der Daten. Geglättete Wahrscheinlichkeiten sind das richtige Werkzeug, um die Vergangenheit zu beschreiben, etwa um historische Regime zu benennen. Zum Handeln sind sie das falsche Werkzeug, denn am Tag selbst ist die Zukunft unbekannt.

Tag eins mit AbstandFür Klein, Groß, Groß:

\beta_3=(1,\ 1)

. Dann

\beta_2(R)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

und

\beta_2(S)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Weiter

\beta_1(R)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

und

\beta_1(S)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Mit

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, zusammen

0{,}0691

, die Wahrscheinlichkeit der Daten. Die geglättete Wahrscheinlichkeit für Ruhig an Tag eins ist also

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, gegenüber gefilterten

0{,}82

. Die zwei großen Bewegungen danach haben uns umgestimmt.

Backward-Werte $\beta_t(i)$ : die Wahrscheinlichkeit aller späteren Beobachtungen bei gegebenem Zustand an Tag $t$ .
Glättung $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : die Überzeugung über Tag $t$ bei allen Daten, vergangenen und künftigen.
Nur zur Beschreibung der Vergangenheit: Geglättete Wahrscheinlichkeiten nutzen künftige Daten und taugen daher nicht zum Handeln.

Lab: Was bewertet wird

Ein Backward-Wert15 Pkt.
Ein weiterer Backward-Wert15 Pkt.
Die geglättete Wahrscheinlichkeit für stürmisch15 Pkt.
Eine Prüfung der Summe10 Pkt.
Gefiltert gegen geglättet10 Pkt.
Was die Glättung hinzufügt10 Pkt.
Begriffe zuordnen10 Pkt.
Warum geglättet und gefiltert abweichen15 Pkt.

Mit Abstand zurückblicken

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

Tag eins mit AbstandFür Klein, Groß, Groß:

\beta_3=(1,\ 1)

. Dann

\beta_2(R)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

und

\beta_2(S)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Weiter

\beta_1(R)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

und

\beta_1(S)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Mit

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, zusammen

0{,}0691

, die Wahrscheinlichkeit der Daten. Die geglättete Wahrscheinlichkeit für Ruhig an Tag eins ist also

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, gegenüber gefilterten

0{,}82

. Die zwei großen Bewegungen danach haben uns umgestimmt.

Backward-Werte $\beta_t(i)$ : die Wahrscheinlichkeit aller späteren Beobachtungen bei gegebenem Zustand an Tag $t$ .
Glättung $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : die Überzeugung über Tag $t$ bei allen Daten, vergangenen und künftigen.
Nur zur Beschreibung der Vergangenheit: Geglättete Wahrscheinlichkeiten nutzen künftige Daten und taugen daher nicht zum Handeln.

Lab: Was bewertet wird

Ein Backward-Wert15 Pkt.
Ein weiterer Backward-Wert15 Pkt.
Die geglättete Wahrscheinlichkeit für stürmisch15 Pkt.
Eine Prüfung der Summe10 Pkt.
Gefiltert gegen geglättet10 Pkt.
Was die Glättung hinzufügt10 Pkt.
Begriffe zuordnen10 Pkt.
Warum geglättet und gefiltert abweichen15 Pkt.

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