多个方向上的变化
金融中的大多数量同时取决于多个输入。投资组合的价值取决于每种资产的价格；期权价格取决于股价、波动率、利率和时间。偏导数问的是：固定其他所有输入、只移动一个输入时，函数如何变化。
∇f=(∂x∂f, ∂y∂f)(1) 把所有偏导数收集成一个向量，就得到梯度 ∇f。它指向增长最快的方向，其长度是最大增长率，一个小的移动 Δx 会使函数大约改变 ∇f⋅Δx。训练大多数机器学习模型的梯度下降，就是沿着梯度的反方向前进。
手算一个梯度对
f(x,y)=x2y+3y2：
fx=2xy（把
y 当作常数），
fy=x2+6y（把
x 当作常数）。在
(1,2) 处梯度为
(4,13)。移动
(+0.1,−0.05) 会使
f 大约改变
4(0.1)+13(−0.05)=−0.25。
- 偏导数 fx：固定其他输入时 x 方向的变化率。
- 梯度 ∇f：由所有偏导数组成的向量。
- 最速上升：∇f 的方向；其长度 ∥∇f∥ 是最大变化率。
- 一阶变化：小幅移动时 Δf≈∇f⋅Δx。
偏导数不是全导数∂S∂C（期权的 Delta）固定了波动率、利率和时间，但在真实市场中，价格变动时波动率往往也会变动。偏导数是干净的基本构件，而不是价格如何反应的全部。 实验：评分内容
- 对 x 的偏导数15 分
- 对 y 的偏导数15 分
- 某点的梯度15 分
- 最大变化率15 分
- 梯度指向哪里10 分
- 计算梯度的步骤10 分
- 固定其他变量20 分
