偏微分と勾配

スキル上の位置モジュール 2/4 · トピック 1/3

2.1 偏微分と勾配

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

複数の方向への変化

金融の多くの量は複数の入力に同時に依存します。ポートフォリオの価値はすべての資産価格に、オプション価格は株価、ボラティリティ、金利、時間に依存します。偏微分は、他の入力をすべて固定して1つの入力だけを動かしたとき、関数がどう変わるかを問います。

\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)

(1)

すべての偏微分をベクトルにまとめたものが勾配 $\nabla f$ です。勾配は最も急に増える向きを指し、その長さが最大の増加率で、小さな移動 $\Delta\mathbf{x}$ による関数の変化はおよそ $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ です。多くの機械学習モデルを学習させる勾配降下法は、勾配と逆向きに進むだけです。

勾配を手計算する

f(x,y)=x^2y+3y^2

では、

f_x=2xy

（

y

を定数とみなす）、

f_y=x^2+6y

（

x

を定数とみなす）です。

(1,2)

での勾配は

(4,13)

で、

(+0.1,-0.05)

だけ動くと

f

はおよそ

4(0.1)+13(-0.05)=-0.25

変わります。

偏微分 $f_x$ ：他の入力を固定したときの $x$ 方向の変化率。
勾配 $\nabla f$ ：すべての偏微分を並べたベクトル。
最急上昇： $\nabla f$ の向き。長さ $\|\nabla f\|$ が最大の増加率。
1次の変化：小さな移動では $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ 。

偏微分は全微分ではない

\frac{\partial C}{\partial S}

（オプションのデルタ）はボラティリティ、金利、時間を固定しますが、実際の市場では価格が動くとボラティリティも動くことがよくあります。偏微分は扱いやすい部品であり、価格の反応のすべてではありません。

ラボ：採点される内容

x についての偏微分15点
y についての偏微分15点
ある点での勾配15点
最大の増加率15点
勾配が指す向き10点
勾配の計算手順10点
他の変数を固定する20点

0/ 7問回答済み

1式15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。 $\frac{\partial f}{\partial x}$ を入力してください。

f_x =

ここに式が表示されます

LaTeX

2式15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を入力してください。

f_y =

ここに式が表示されます

LaTeX

3行列・ベクトル15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。勾配 $\nabla f(1,2)$ を列ベクトルとして埋めてください。

\nabla f(1,2) =

4数値で答える15点未回答

$g(x,y)=x^2+y^2$ の点 $(3,4)$ における最大の増加率 $\|\nabla g\|$ はいくつですか。

\|\nabla g\| =

許容:± 0.001

5選択10点未回答

$\nabla f$ はどの向きを指しますか。

6手順を並べ替える10点未回答

ある点での勾配を計算する手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1各偏導関数に点を代入する
2他の変数を固定して各変数で微分する
3結果をベクトルにまとめる
4各偏導関数を式で書く

7言葉で説明する20点未回答

偏微分が何を測るか、なぜ他の変数を固定するのか、勾配は何を加えるのかを2〜3文で説明してください。

採点基準:1つの入力による関数の変化を測るその効果を切り分けるため他の変数を一定にする勾配はすべての偏微分をまとめ、最も急な増加を指す0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

偏微分と勾配

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2.1 偏微分と勾配

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

複数の方向への変化

\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)

(1)

勾配を手計算する

f(x,y)=x^2y+3y^2

では、

f_x=2xy

（

y

を定数とみなす）、

f_y=x^2+6y

（

x

を定数とみなす）です。

(1,2)

での勾配は

(4,13)

で、

(+0.1,-0.05)

だけ動くと

f

はおよそ

4(0.1)+13(-0.05)=-0.25

変わります。

偏微分 $f_x$ ：他の入力を固定したときの $x$ 方向の変化率。
勾配 $\nabla f$ ：すべての偏微分を並べたベクトル。
最急上昇： $\nabla f$ の向き。長さ $\|\nabla f\|$ が最大の増加率。
1次の変化：小さな移動では $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ 。

偏微分は全微分ではない

\frac{\partial C}{\partial S}

ラボ：採点される内容

x についての偏微分15点
y についての偏微分15点
ある点での勾配15点
最大の増加率15点
勾配が指す向き10点
勾配の計算手順10点
他の変数を固定する20点

0/ 7問回答済み

1式15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。 $\frac{\partial f}{\partial x}$ を入力してください。

f_x =

ここに式が表示されます

LaTeX

2式15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を入力してください。

f_y =

ここに式が表示されます

LaTeX

3行列・ベクトル15点未回答

$f(x,y)=x^2y+3y^2$ とします。勾配 $\nabla f(1,2)$ を列ベクトルとして埋めてください。

\nabla f(1,2) =

4数値で答える15点未回答

$g(x,y)=x^2+y^2$ の点 $(3,4)$ における最大の増加率 $\|\nabla g\|$ はいくつですか。

\|\nabla g\| =

許容:± 0.001

5選択10点未回答

$\nabla f$ はどの向きを指しますか。

6手順を並べ替える10点未回答

ある点での勾配を計算する手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1各偏導関数に点を代入する
2他の変数を固定して各変数で微分する
3結果をベクトルにまとめる
4各偏導関数を式で書く

7言葉で説明する20点未回答

偏微分が何を測るか、なぜ他の変数を固定するのか、勾配は何を加えるのかを2〜3文で説明してください。

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ラボ：採点される内容

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