連鎖律と積の微分

微分を組み立てる規則

導関数は関数の変化の速さを測ります。$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。この極限を手計算することはまれで、代わりに既知の導関数（$(x^n)'=nx^{n-1}$、$(e^x)'=e^x$、$(\ln x)'=\frac{1}{x}$、$(\sin x)'=\cos x$）を、和・積・商・合成の規則で組み合わせます。

積の微分は、変化する2つの量を掛けるときに使います。ポジションの価値は価格×数量 $V=P\cdot N$ で、両方が動くなら $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$ となり、価格の変化による分と数量の変化による分に分かれます。

連鎖律は、ある関数が別の関数の中に入っているときに使います。変化は内側から外側へ伝わります。割引係数 $D(r)=e^{-rT}$ は指数を通じて金利 $r$ に依存するので、$\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$ となり、金利が1単位上がるごとに係数はその値の $T$ 倍だけ下がります。

• 和の微分：$(u+v)'=u'+v'$。
• 積の微分：$(uv)'=u'v+uv'$。
• 商の微分：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。
• 連鎖律：外側を微分し、内側の導関数を掛ける。

ラボ：採点される内容

• 積の微分20点
• 対数と連鎖律20点
• 正弦と連鎖律15点
• 規則と公式15点
• ある点での微分係数15点
• 連鎖律による微分15点