Regla de la cadena y regla del producto

Reglas que construyen derivadas

La derivada mide con qué rapidez cambia una función: $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Rara vez se calcula ese límite a mano. En su lugar se combinan unas pocas derivadas conocidas ($(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\sin x)'=\cos x$) con reglas para sumas, productos, cocientes y composiciones.

La regla del producto se aplica cuando dos cantidades cambiantes se multiplican. El valor de una posición es precio por cantidad, $V=P\cdot N$; si ambas se mueven, $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$: una parte viene del cambio del precio y otra del cambio de la cantidad.

La regla de la cadena se aplica cuando una función está dentro de otra: el cambio fluye de dentro hacia fuera. Un factor de descuento $D(r)=e^{-rT}$ depende de la tasa $r$ a través del exponente, así que $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$: cada unidad de aumento de la tasa reduce el factor en $T$ veces su valor.

• Regla de la suma: $(u+v)'=u'+v'$.
• Regla del producto: $(uv)'=u'v+uv'$.
• Regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Regla de la cadena: derive el exterior y multiplique por la derivada del interior.

Lab: qué se califica

• Regla del producto20 pts
• Regla de la cadena con un logaritmo20 pts
• Regla de la cadena con un seno15 pts
• Reglas y fórmulas15 pts
• Una derivada en un punto15 pts
• Una derivación con la regla de la cadena15 pts