Regra da cadeia e regra do produto

Regras que constroem derivadas

A derivada mede a rapidez com que uma função muda: $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Raramente se calcula esse limite à mão. Em vez disso, combinam-se algumas derivadas conhecidas ($(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\sin x)'=\cos x$) com regras para somas, produtos, quocientes e composições.

A regra do produto vale quando duas quantidades variáveis se multiplicam. O valor de uma posição é preço vezes quantidade, $V=P\cdot N$; se ambos se movem, $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$: uma parte vem da mudança do preço e outra da mudança da quantidade.

A regra da cadeia vale quando uma função está dentro de outra: a mudança flui de dentro para fora. Um fator de desconto $D(r)=e^{-rT}$ depende da taxa $r$ pelo expoente, então $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$: cada unidade de aumento na taxa reduz o fator em $T$ vezes o seu valor.

• Regra da soma: $(u+v)'=u'+v'$.
• Regra do produto: $(uv)'=u'v+uv'$.
• Regra do quociente: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Regra da cadeia: derive a parte externa e multiplique pela derivada da interna.

Lab: o que é avaliado

• Regra do produto20 pts
• Regra da cadeia com um logaritmo20 pts
• Regra da cadeia com um seno15 pts
• Regras e fórmulas15 pts
• Uma derivada em um ponto15 pts
• Uma derivação pela regra da cadeia15 pts