Règle de dérivation en chaîne et règle du produit

Des règles pour construire les dérivées

La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction : $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. On calcule rarement cette limite à la main. On combine plutôt quelques dérivées connues ($(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\sin x)'=\cos x$) avec des règles pour les sommes, produits, quotients et composées.

La règle du produit s'applique quand deux quantités variables se multiplient. La valeur d'une position est le prix fois la quantité, $V=P\cdot N$ ; si les deux varient, $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$ : une partie vient du prix qui change, l'autre de la quantité qui change.

La règle de la chaîne s'applique quand une fonction est à l'intérieur d'une autre : la variation se transmet de l'intérieur vers l'extérieur. Un facteur d'actualisation $D(r)=e^{-rT}$ dépend du taux $r$ par l'exposant, donc $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$ : chaque unité de hausse du taux réduit le facteur de $T$ fois sa valeur.

• Règle de la somme : $(u+v)'=u'+v'$.
• Règle du produit : $(uv)'=u'v+uv'$.
• Règle du quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Règle de la chaîne : dérivez l'extérieur, puis multipliez par la dérivée de l'intérieur.

Lab : ce qui est noté

• Règle du produit20 pts
• Règle de la chaîne avec un logarithme20 pts
• Règle de la chaîne avec un sinus15 pts
• Règles et formules15 pts
• Une dérivée en un point15 pts
• Une dérivation par la règle de la chaîne15 pts