Dérivées partielles et gradients

Position dans le parcoursModule 2 sur 4 · Sujet 1 sur 3

2.1 Dérivées partielles et gradients

—Score du lab— / 100XP total—Série—

La variation dans plusieurs directions

La plupart des grandeurs financières dépendent de plusieurs entrées à la fois. La valeur d'un portefeuille dépend du prix de chaque actif ; le prix d'une option dépend du cours de l'action, de la volatilité, du taux et du temps. Une dérivée partielle demande comment la fonction varie quand on déplace une entrée en gardant toutes les autres fixes.

\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)

(1)

Rassemblez toutes les dérivées partielles dans un vecteur et vous obtenez le gradient $\nabla f$ . Il pointe dans la direction de plus forte croissance, sa longueur est le taux de croissance maximal, et un petit déplacement $\Delta\mathbf{x}$ modifie la fonction d'environ $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ . La descente de gradient, qui entraîne la plupart des modèles d'apprentissage, avance simplement à l'opposé du gradient.

Un gradient à la mainPour

f(x,y)=x^2y+3y^2

f_x=2xy

(on traite

y

comme une constante) et

f_y=x^2+6y

(on traite

x

comme une constante). En

(1,2)

, le gradient est

(4,13)

. Un déplacement de

(+0{,}1;-0{,}05)

modifie

f

d'environ

4(0{,}1)+13(-0{,}05)=-0{,}25

Dérivée partielle $f_x$ : le taux de variation en $x$ avec les autres entrées fixes.
Gradient $\nabla f$ : le vecteur de toutes les dérivées partielles.
Plus forte pente : la direction de $\nabla f$ ; sa longueur $\|\nabla f\|$ est le taux maximal.
Variation au premier ordre : $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ pour un petit déplacement.

Une dérivée partielle n'est pas une dérivée totale

\frac{\partial C}{\partial S}

(le delta d'une option) garde fixes la volatilité, le taux et le temps, mais sur un vrai marché la volatilité bouge souvent quand le prix bouge. La dérivée partielle est une brique propre, pas toute l'histoire de la réaction du prix.

Lab : ce qui est noté

Dérivée partielle en x15 pts
Dérivée partielle en y15 pts
Le gradient en un point15 pts
Le taux de croissance maximal15 pts
Ce que montre le gradient10 pts
Calculer un gradient10 pts
Garder les autres fixes20 pts

0/ 7 traités

1Expression15 ptsSans réponse

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Saisissez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

f_x =

Votre formule apparaît ici

LaTeX

2Expression15 ptsSans réponse

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Saisissez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

f_y =

Votre formule apparaît ici

LaTeX

3Matrice · vecteur15 ptsSans réponse

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Remplissez le gradient $\nabla f(1,2)$ sous forme de colonne.

\nabla f(1,2) =

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Pour $g(x,y)=x^2+y^2$ au point $(3,4)$ , quel est le taux de croissance maximal possible, $\|\nabla g\|$ ?

\|\nabla g\| =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

Dans quelle direction pointe $\nabla f$ ?

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes du calcul d'un gradient en un point.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Remplacer le point dans chaque dérivée partielle
2Dériver par rapport à chaque variable en gardant les autres fixes
3Empiler les résultats dans un vecteur
4Écrire chaque dérivée partielle comme une formule

7Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez ce que mesure une dérivée partielle, pourquoi on garde les autres variables fixes et ce qu'ajoute le gradient.

Noté sur :Elle mesure la variation de la fonction due à une seule entréeLes autres variables restent constantes pour isoler cet effetLe gradient réunit toutes les dérivées partielles et indique la plus forte croissance0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier

Dérivées partielles et gradients

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La variation dans plusieurs directions

\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)

(1)

Un gradient à la mainPour

f(x,y)=x^2y+3y^2

f_x=2xy

(on traite

y

comme une constante) et

f_y=x^2+6y

(on traite

x

comme une constante). En

(1,2)

, le gradient est

(4,13)

. Un déplacement de

(+0{,}1;-0{,}05)

modifie

f

d'environ

4(0{,}1)+13(-0{,}05)=-0{,}25

Dérivée partielle $f_x$ : le taux de variation en $x$ avec les autres entrées fixes.
Gradient $\nabla f$ : le vecteur de toutes les dérivées partielles.
Plus forte pente : la direction de $\nabla f$ ; sa longueur $\|\nabla f\|$ est le taux maximal.
Variation au premier ordre : $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ pour un petit déplacement.

Une dérivée partielle n'est pas une dérivée totale

\frac{\partial C}{\partial S}

Lab : ce qui est noté

Dérivée partielle en x15 pts
Dérivée partielle en y15 pts
Le gradient en un point15 pts
Le taux de croissance maximal15 pts
Ce que montre le gradient10 pts
Calculer un gradient10 pts
Garder les autres fixes20 pts

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Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Saisissez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

f_x =

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2Expression15 ptsSans réponse

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Saisissez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

f_y =

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LaTeX

3Matrice · vecteur15 ptsSans réponse

Soit $f(x,y)=x^2y+3y^2$ . Remplissez le gradient $\nabla f(1,2)$ sous forme de colonne.

\nabla f(1,2) =

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Pour $g(x,y)=x^2+y^2$ au point $(3,4)$ , quel est le taux de croissance maximal possible, $\|\nabla g\|$ ?

\|\nabla g\| =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

Dans quelle direction pointe $\nabla f$ ?

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes du calcul d'un gradient en un point.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Remplacer le point dans chaque dérivée partielle
2Dériver par rapport à chaque variable en gardant les autres fixes
3Empiler les résultats dans un vecteur
4Écrire chaque dérivée partielle comme une formule

7Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez ce que mesure une dérivée partielle, pourquoi on garde les autres variables fixes et ce qu'ajoute le gradient.

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