المشتقات الجزئية والتدرجات

التغيّر في أكثر من اتجاه

تعتمد معظم الكميات المالية على عدة مدخلات في آن واحد. فقيمة المحفظة تعتمد على سعر كل أصل، وسعر الخيار يعتمد على سعر السهم والتقلب والمعدل والزمن. وتسأل المشتقة الجزئية كيف تتغير الدالة عند تحريك مدخل واحد وتثبيت كل المدخلات الأخرى.

اجمع كل المشتقات الجزئية في متجه تحصل على التدرج $\nabla f$. إنه يشير إلى اتجاه أسرع زيادة، وطوله هو أعلى معدل زيادة، وحركة صغيرة $\Delta\mathbf{x}$ تغيّر الدالة بنحو $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$. أما النزول التدريجي الذي يدرّب معظم نماذج التعلّم الآلي فيسير ببساطة عكس التدرج.

• المشتقة الجزئية $f_x$: معدل التغيّر في $x$ مع تثبيت المدخلات الأخرى.
• التدرج $\nabla f$: متجه كل المشتقات الجزئية.
• أسرع صعود: اتجاه $\nabla f$؛ وطوله $\|\nabla f\|$ هو أعلى معدل.
• التغيّر من الدرجة الأولى: $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ لحركة صغيرة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• المشتقة الجزئية بالنسبة إلى x15 نقطة
• المشتقة الجزئية بالنسبة إلى y15 نقطة
• التدرج عند نقطة15 نقطة
• أعلى معدل15 نقطة
• إلى أين يشير التدرج10 نقطة
• حساب التدرج10 نقطة
• تثبيت الباقي20 نقطة