Partielle Ableitungen und Gradienten

Änderung in mehr als einer Richtung

Die meisten Finanzgrößen hängen von mehreren Eingaben gleichzeitig ab. Der Wert eines Portfolios hängt von jedem Kurs ab; der Preis einer Option vom Aktienkurs, der Volatilität, dem Zins und der Zeit. Eine partielle Ableitung fragt, wie sich die Funktion ändert, wenn man eine Eingabe bewegt und alle anderen festhält.

Fasst man alle partiellen Ableitungen in einem Vektor zusammen, erhält man den Gradienten $\nabla f$. Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, seine Länge ist die größte Anstiegsrate, und eine kleine Bewegung $\Delta\mathbf{x}$ ändert die Funktion um etwa $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$. Das Gradientenverfahren, das die meisten Machine-Learning-Modelle trainiert, geht einfach gegen den Gradienten.

• Partielle Ableitung $f_x$: die Änderungsrate in $x$ bei festgehaltenen anderen Eingaben.
• Gradient $\nabla f$: der Vektor aller partiellen Ableitungen.
• Steilster Anstieg: die Richtung von $\nabla f$; seine Länge $\|\nabla f\|$ ist die größte Rate.
• Änderung erster Ordnung: $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ bei kleiner Bewegung.

Lab: Was bewertet wird

• Partielle Ableitung nach x15 Pkt.
• Partielle Ableitung nach y15 Pkt.
• Der Gradient an einer Stelle15 Pkt.
• Die größte Rate15 Pkt.
• Wohin der Gradient zeigt10 Pkt.
• Einen Gradienten berechnen10 Pkt.
• Die anderen festhalten20 Pkt.