Kettenregel und Produktregel

Regeln, die Ableitungen aufbauen

Die Ableitung misst, wie schnell sich eine Funktion ändert: $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Diesen Grenzwert berechnet man selten von Hand. Stattdessen kombiniert man wenige bekannte Ableitungen ($(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\sin x)'=\cos x$) mit Regeln für Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen.

Die Produktregel gilt, wenn zwei veränderliche Größen multipliziert werden. Der Wert einer Position ist Preis mal Menge, $V=P\cdot N$; bewegen sich beide, gilt $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$: ein Teil stammt aus der Preisänderung, einer aus der Mengenänderung.

Die Kettenregel gilt, wenn eine Funktion in einer anderen steckt: Die Änderung fließt von innen nach außen. Ein Diskontfaktor $D(r)=e^{-rT}$ hängt über den Exponenten vom Zins $r$ ab, also $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$: Jede Einheit mehr Zins senkt den Faktor um $T$ mal seinen Wert.

• Summenregel: $(u+v)'=u'+v'$.
• Produktregel: $(uv)'=u'v+uv'$.
• Quotientenregel: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Kettenregel: Außen ableiten, dann mit der Ableitung des Inneren multiplizieren.

Lab: Was bewertet wird

• Produktregel20 Pkt.
• Kettenregel mit Logarithmus20 Pkt.
• Kettenregel mit Sinus15 Pkt.
• Regeln und Formeln15 Pkt.
• Eine Ableitung an einer Stelle15 Pkt.
• Eine Ableitung mit der Kettenregel15 Pkt.