قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب

قواعد تبني المشتقات

تقيس المشتقة سرعة تغيّر الدالة: $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. نادرًا ما تحسب هذه النهاية يدويًا، بل تجمع بضع مشتقات معروفة ($(x^n)'=nx^{n-1}$ و$(e^x)'=e^x$ و$(\ln x)'=\frac{1}{x}$ و$(\sin x)'=\cos x$) مع قواعد المجاميع والضرب والقسمة والتركيب.

تُطبَّق قاعدة الضرب حين تُضرب كميتان متغيرتان. قيمة المركز هي السعر × الكمية، $V=P\cdot N$؛ وإذا تحرك الاثنان فإن $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$: جزء من تغيّر السعر وجزء من تغيّر الكمية.

تُطبَّق قاعدة السلسلة حين تكون دالة داخل أخرى: يسري التغيّر من الداخل إلى الخارج. معامل الخصم $D(r)=e^{-rT}$ يعتمد على المعدل $r$ عبر الأس، فيكون $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$: كل زيادة بوحدة في المعدل تخفض المعامل بمقدار $T$ مرة قيمته.

• قاعدة الجمع: $(u+v)'=u'+v'$.
• قاعدة الضرب: $(uv)'=u'v+uv'$.
• قاعدة القسمة: $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• قاعدة السلسلة: اشتق الخارج ثم اضرب في مشتقة الداخل.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• قاعدة الضرب20 نقطة
• قاعدة السلسلة مع اللوغاريتم20 نقطة
• قاعدة السلسلة مع الجيب15 نقطة
• القواعد والصيغ15 نقطة
• مشتقة عند نقطة15 نقطة
• اشتقاق بقاعدة السلسلة15 نقطة