链式法则与乘积法则

构建导数的法则

导数衡量函数变化的快慢： $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 。你很少手算这个极限，而是把几个已知导数（ $(x^n)'=nx^{n-1}$ 、 $(e^x)'=e^x$ 、 $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ 、 $(\sin x)'=\cos x$ ）与和、积、商、复合的法则组合起来。

(uv)' = u'v + uv'

(1)

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)

(2)

当两个变化的量相乘时用乘积法则。头寸价值是价格乘数量 $V=P\cdot N$ ；若两者都变，则 $\frac{dV}{dt}=P'N+PN'$ ：一部分来自价格变化，一部分来自数量变化。

当一个函数嵌在另一个函数里时用链式法则：变化由内向外传递。贴现因子 $D(r)=e^{-rT}$ 通过指数依赖利率 $r$ ，所以 $\frac{dD}{dr}=e^{-rT}\cdot(-T)=-T\,e^{-rT}$ ：利率每上升一个单位，因子就下降其自身值的 $T$ 倍。

和的法则： $(u+v)'=u'+v'$ 。
乘积法则： $(uv)'=u'v+uv'$ 。
商法则： $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 。
链式法则：先对外层求导，再乘以内层的导数。

用法则求两个导数对

f(x)=x^2e^x

，取

u=x^2

、

v=e^x

：

f'(x)=2x\,e^x+x^2e^x

。对

g(x)=\ln(x^2+1)

，外层是

\ln

，内层是

x^2+1

：

g'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}

。

用数值方法检验导数在几个点上，把你的公式与中心差分

\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}

（

h

约取

10^{-5}

）比较。如果前几位就不一致，说明代数出了错。你会在 Python 的导数主题中把这个检验写成代码。

实验：评分内容

乘积法则20 分
对数的链式法则20 分
正弦的链式法则15 分
法则与公式15 分
某点处的导数值15 分
链式法则求导15 分

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