Derivadas parciales y gradientes

El cambio en más de una dirección

La mayoría de las magnitudes financieras dependen de varias entradas a la vez. El valor de una cartera depende del precio de cada activo; el precio de una opción depende del precio de la acción, la volatilidad, la tasa y el tiempo. Una derivada parcial pregunta cómo cambia la función al mover una entrada manteniendo fijas todas las demás.

Reúna todas las derivadas parciales en un vector y obtendrá el gradiente $\nabla f$. Apunta en la dirección de mayor aumento, su longitud es la tasa máxima de aumento y un pequeño movimiento $\Delta\mathbf{x}$ cambia la función en aproximadamente $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$. El descenso de gradiente, que entrena la mayoría de los modelos de aprendizaje automático, simplemente da pasos en contra del gradiente.

• Derivada parcial $f_x$: la tasa de cambio en $x$ con las otras entradas fijas.
• Gradiente $\nabla f$: el vector de todas las derivadas parciales.
• Mayor ascenso: la dirección de $\nabla f$; su longitud $\|\nabla f\|$ es la tasa máxima.
• Cambio de primer orden: $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ para un movimiento pequeño.

Lab: qué se califica

• Derivada parcial en x15 pts
• Derivada parcial en y15 pts
• El gradiente en un punto15 pts
• La tasa máxima15 pts
• Hacia dónde apunta el gradiente10 pts
• Calcular un gradiente10 pts
• Mantener las otras fijas20 pts