Derivadas parciais e gradientes

A mudança em mais de uma direção

A maioria das grandezas financeiras depende de várias entradas ao mesmo tempo. O valor de uma carteira depende do preço de cada ativo; o preço de uma opção depende do preço da ação, da volatilidade, da taxa e do tempo. Uma derivada parcial pergunta como a função muda quando se move uma entrada mantendo todas as outras fixas.

Reúna todas as derivadas parciais em um vetor e você obtém o gradiente $\nabla f$. Ele aponta na direção do maior aumento, seu comprimento é a taxa máxima de aumento e um pequeno movimento $\Delta\mathbf{x}$ muda a função em cerca de $\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$. A descida do gradiente, que treina a maioria dos modelos de aprendizado de máquina, simplesmente dá passos contra o gradiente.

• Derivada parcial $f_x$: a taxa de variação em $x$ com as outras entradas fixas.
• Gradiente $\nabla f$: o vetor de todas as derivadas parciais.
• Maior subida: a direção de $\nabla f$; seu comprimento $\|\nabla f\|$ é a taxa máxima.
• Variação de primeira ordem: $\Delta f\approx\nabla f\cdot\Delta\mathbf{x}$ para um pequeno movimento.

Lab: o que é avaliado

• Derivada parcial em x15 pts
• Derivada parcial em y15 pts
• O gradiente em um ponto15 pts
• A taxa máxima15 pts
• Para onde o gradiente aponta10 pts
• Calcular um gradiente10 pts
• Manter as outras fixas20 pts