Las esperanzas son integrales, las dinámicas son EDO
Gran parte de las finanzas cuantitativas es uno de dos trabajos. El primero es una esperanza, es decir, una integral: el precio de una opción es el promedio descontado de su pago, e^(-rT)∫(S_T-K)⁺ φ(z) dz, y una pérdida esperada (expected shortfall) es la pérdida media más allá de un cuantil. scipy.integrate.quad(f, a, b) devuelve el valor y una estimación del error, acepta -np.inf y np.inf como límites y es precisa a muchos dígitos cuando el integrando es suave. Donde el integrando tiene un quiebre, como el pago de una call en el strike, empiece la integral en el quiebre en vez de dejar que quad lo atraviese. Aunque exista una forma cerrada, calcular también la integral es la mejor prueba de que se entiende la fórmula, y la integral sigue sirviendo para pagos sin fórmula.
El segundo trabajo es una dinámica: una cantidad evoluciona según una regla para su tasa de cambio, una ecuación diferencial ordinaria y'=f(t,y). scipy.integrate.solve_ivp(f, [t0, t1], y0, rtol=..., atol=...) la sigue hacia delante y devuelve la trayectoria; la última columna de sol.y es el valor en t₁. El modelo de tasa corta de Vasicek da un precio de bono P=e^(A(τ)-B(τ)r₀) cuyas dos funciones resuelven B'=1-κB y A'=-κθB+1/2σ²B² desde cero, y el solucionador reproduce la fórmula del libro hasta 10⁻¹³ al ajustar las tolerancias. La distribución t con 2,6 grados de libertad tiene una pérdida esperada al 1 % de 8,54 unidades estándar, frente a 2,67 de la normal: la integral muestra lo que cuesta la cola gruesa. Desde la tasa de fondos federales del 3,88%, la curva del modelo sube suavemente del 3,96% a un año al 4,36% a treinta.
- Una esperanza es una integral:
quadadmite límites infinitos; empiece en el quiebre de un pago. - Una dinámica es una EDO:
solve_ivpla sigue desde sus valores iniciales; ajustertolyatolpara igualar una fórmula. - Compruebe lo numérico con una forma cerrada: si existen ambas, calcule ambas y mire la diferencia.
Lab: qué se califica
- Un precio de call como integral20 pts
- Una pérdida esperada por integración15 pts
- La forma cerrada10 pts
- Un precio de bono a partir de dos EDO25 pts
- La fórmula de Vasicek10 pts
- La curva de rendimientos del modelo10 pts
- El estudio10 pts