Esperanças são integrais, dinâmicas são EDOs
Grande parte das finanças quantitativas é um de dois trabalhos. O primeiro é uma esperança, ou seja, uma integral: o preço de uma opção é a média descontada de seu payoff, e^(-rT)∫(S_T-K)⁺ φ(z) dz, e uma perda esperada (expected shortfall) é a perda média além de um quantil. scipy.integrate.quad(f, a, b) devolve o valor e uma estimativa do erro, aceita -np.inf e np.inf como limites e é precisa em muitos dígitos quando o integrando é suave. Onde o integrando tem uma quebra, como o payoff de uma call no strike, comece a integral na quebra em vez de deixar o quad atravessá-la. Mesmo quando existe forma fechada, calcular também a integral é o melhor teste de que se entende a fórmula, e a integral continua valendo para payoffs sem fórmula.
O segundo trabalho é uma dinâmica: uma quantidade evolui segundo uma regra para sua taxa de variação, uma equação diferencial ordinária y'=f(t,y). scipy.integrate.solve_ivp(f, [t0, t1], y0, rtol=..., atol=...) a segue adiante e devolve a trajetória; a última coluna de sol.y é o valor em t₁. O modelo de taxa curta de Vasicek dá um preço de título P=e^(A(τ)-B(τ)r₀) cujas duas funções resolvem B'=1-κB e A'=-κθB+1/2σ²B² a partir de zero, e o solucionador reproduz a fórmula do livro até 10⁻¹³ ao apertar as tolerâncias. A distribuição t com 2,6 graus de liberdade tem perda esperada a 1% de 8,54 unidades padrão, contra 2,67 da normal: a integral mostra o que custa a cauda gorda. A partir da taxa dos fed funds de 3,88%, a curva do modelo sobe suavemente de 3,96% em um ano para 4,36% em trinta.
- Uma esperança é uma integral:
quadaceita limites infinitos; comece na quebra de um payoff. - Uma dinâmica é uma EDO:
solve_ivpa segue a partir dos valores iniciais; apertertoleatolpara igualar uma fórmula. - Confira o numérico com uma forma fechada: quando ambas existem, calcule as duas e veja a diferença.
Lab: o que é avaliado
- Um preço de call como integral20 pts
- Uma perda esperada por integração15 pts
- A forma fechada10 pts
- Um preço de título a partir de duas EDOs25 pts
- A fórmula de Vasicek10 pts
- A curva de rendimentos do modelo10 pts
- O estudo10 pts