Erwartungen sind Integrale, Dynamiken sind ODEs
Ein großer Teil der quantitativen Finanzmathematik besteht aus einer von zwei Aufgaben. Die erste ist ein Erwartungswert, also ein Integral: Ein Optionspreis ist der diskontierte Mittelwert seiner Auszahlung, e^(-rT)∫(S_T-K)⁺ φ(z) dz, und ein Expected Shortfall ist der mittlere Verlust jenseits eines Quantils. scipy.integrate.quad(f, a, b) liefert den Wert und eine Fehlerschätzung, akzeptiert -np.inf und np.inf als Grenzen und ist bei glattem Integranden auf viele Stellen genau. Wo der Integrand einen Knick hat, wie die Call-Auszahlung am Strike, beginnt man das Integral am Knick, statt quad ihn überspringen zu lassen. Auch wenn es eine geschlossene Formel gibt, ist das zusätzliche Berechnen des Integrals der beste Test, ob man die Formel versteht, und das Integral funktioniert weiter für Auszahlungen ohne Formel.
Die zweite Aufgabe ist eine Dynamik: Eine Größe entwickelt sich nach einer Regel für ihre Änderungsrate, einer gewöhnlichen Differentialgleichung y'=f(t,y). scipy.integrate.solve_ivp(f, [t0, t1], y0, rtol=..., atol=...) verfolgt sie vorwärts und liefert den Pfad; die letzte Spalte von sol.y ist der Wert bei t₁. Das Vasicek-Kurzzinsmodell liefert einen Anleihepreis P=e^(A(τ)-B(τ)r₀), dessen zwei Funktionen B'=1-κB und A'=-κθB+1/2σ²B² ab null lösen, und der Löser reproduziert die Lehrbuchformel auf 10⁻¹³, sobald man die Toleranzen verschärft. Die t-Verteilung mit 2,6 Freiheitsgraden hat einen Expected Shortfall von 8,54 Standardeinheiten bei 1 %, gegen 2,67 bei der Normalverteilung: Das Integral zeigt, was der dicke Rand kostet. Ausgehend vom Fed-Funds-Satz von 3,88% steigt die Modellkurve sanft von 3,96% bei einem Jahr auf 4,36% bei dreißig.
- Ein Erwartungswert ist ein Integral:
quadnimmt unendliche Grenzen; am Knick einer Auszahlung beginnen. - Eine Dynamik ist eine ODE:
solve_ivpverfolgt sie ab den Startwerten;rtolundatolverschärfen, um eine Formel zu treffen. - Numerik an einer geschlossenen Form prüfen: Gibt es beide, berechnen Sie beide und sehen Sie die Lücke an.
Lab: Was bewertet wird
- Ein Call-Preis als Integral20 Pkt.
- Ein Expected Shortfall durch Integration15 Pkt.
- Die geschlossene Form10 Pkt.
- Ein Anleihepreis aus zwei ODEs25 Pkt.
- Die Vasicek-Formel10 Pkt.
- Die Modellzinskurve10 Pkt.
- Die Studie10 Pkt.