Les espérances sont des intégrales, les dynamiques des EDO
Une grande partie de la finance quantitative se résume à deux tâches. La première est une espérance, donc une intégrale : le prix d'une option est la moyenne actualisée de son payoff, e^(-rT)∫(S_T-K)⁺ φ(z) dz, et une perte attendue (expected shortfall) est la perte moyenne au-delà d'un quantile. scipy.integrate.quad(f, a, b) renvoie la valeur et une estimation de l'erreur, accepte -np.inf et np.inf comme bornes, et est précise à de nombreux chiffres quand l'intégrande est lisse. Là où l'intégrande a un coude, comme le payoff d'un call au strike, commencez l'intégrale au coude au lieu de laisser quad l'enjamber. Même quand une forme fermée existe, calculer aussi l'intégrale est le meilleur test pour savoir si l'on comprend la formule, et l'intégrale marche encore pour les payoffs sans formule.
La seconde tâche est une dynamique : une quantité évolue selon une règle sur son taux de variation, une équation différentielle ordinaire y'=f(t,y). scipy.integrate.solve_ivp(f, [t0, t1], y0, rtol=..., atol=...) la suit vers l'avant et renvoie la trajectoire ; la dernière colonne de sol.y est la valeur en t₁. Le modèle de taux court de Vasicek donne un prix d'obligation P=e^(A(τ)-B(τ)r₀) dont les deux fonctions résolvent B'=1-κB et A'=-κθB+1/2σ²B² depuis zéro, et le solveur reproduit la formule du manuel à 10⁻¹³ dès qu'on resserre les tolérances. La loi t à 2,6 degrés de liberté a une perte attendue à 1 % de 8,54 unités standard, contre 2,67 pour la loi normale : l'intégrale montre ce que coûte la queue épaisse. À partir du taux des fed funds de 3,88%, la courbe du modèle monte doucement de 3,96% à un an à 4,36% à trente ans.
- Une espérance est une intégrale :
quadaccepte des bornes infinies ; commencez au coude d'un payoff. - Une dynamique est une EDO :
solve_ivpla suit depuis ses valeurs initiales ; resserrezrtoletatolpour égaler une formule. - Vérifiez le numérique par une forme fermée : quand les deux existent, calculez les deux et regardez l'écart.
Lab : ce qui est noté
- Un prix de call comme intégrale20 pts
- Une perte attendue par intégration15 pts
- La forme fermée10 pts
- Un prix d'obligation à partir de deux EDO25 pts
- La formule de Vasicek10 pts
- La courbe de taux du modèle10 pts
- L'étude10 pts