Die Lücken zwischen den Notierungen füllen
Das Treasury notiert zehn Laufzeiten, alles andere wird interpoliert. scipy.interpolate bietet die Standardwerkzeuge. np.interp verbindet die Notierungen mit Geraden: einfach und ohne Überschwingen, aber die Steigung springt an jeder Notierung. CubicSpline(x, y, bc_type='natural') verbindet sie mit einer glatten Kurve, deren erste und zweite Ableitung stetig sind; der Preis der Glattheit ist, dass sie zwischen Notierungen überschwingen kann und außerhalb des notierten Bereichs davonläuft, man sollte sie also nicht extrapolieren. PchipInterpolator(x, y) ist ebenfalls glatt, bewahrt aber die Form: Wo die Daten steigen, steigt sie, sie kann also keinen Buckel erfinden. Alle drei gehen durch jede Notierung; sie unterscheiden sich dazwischen und in dem, was sie mit allem aus der Kurve Abgeleiteten tun.
Die Unterschiede zählen, weil abgeleitete Größen sie verstärken. Ein Diskontfaktor ist D(t)=e^(-y(t) t/100), und der Terminzins zwischen zwei Terminen ist die Steigung seines Logarithmus, f=-Δln D/Δt×100. Ein kleiner Knick der Rendite wird zu einem sichtbaren Sprung des Terminzinses. Am 9. Oktober 2026 beträgt die 15-Jahres-Rendite 5,445% bei linearer Interpolation, 5,464% beim natürlichen kubischen Spline und 5,493% bei PCHIP, und der größte Sprung zwischen benachbarten Terminzinsen auf einem 120-Punkte-Gitter beträgt 0,91 Punkte für die lineare Kurve und etwa 0,21 für die Splines. Auf der inversen Kurve vom 3. Januar 2000 sinken die Terminzinsen der Splines auf 4,76% und 4,63%, die linearen bleiben bei 5,63%. Es gibt keine beste Methode, nur eine bewusste Wahl: glatte Terminzinsen zum Bewerten, Formtreue fürs Risiko, einfache Geraden, wenn nichts erfunden werden darf.
- Alle drei gehen durch die Notierungen: Sie unterscheiden sich dazwischen und in den implizierten Terminzinsen.
- Terminzinsen sind die Steigung der Log-Diskontfaktoren: Jeder Knick der Rendite zeigt sich als Sprung.
- Einen kubischen Spline nicht extrapolieren: nur zwischen den Notierungen benutzen.
Lab: Was bewertet wird
- Drei Interpolationen20 Pkt.
- Diskontfaktoren10 Pkt.
- Die Terminzinskurve20 Pkt.
- Rauigkeit10 Pkt.
- Die Methoden vergleichen15 Pkt.
- Ein echter Tag25 Pkt.