嘈杂测量背后的隐藏水平
状态空间模型有一个随时间演化的隐藏状态，以及对它带噪声的观测。最简单的局部水平模型是 yₜ=μₜ+eₜ（eₜ (variance σ²ₑ)）与 μₜ=μₜ₋₁+hₜ（hₜ (variance σ²ₕ)）：水平 μₜ 是随机游走，每次测量都加上独立的噪声。UnobservedComponents(y, level='llevel').fit(disp=False) 用最大似然估计 σ²ₑ（名为 sigma2.irregular）和 σ²ₕ（sigma2.level）。比值 q=σ²ₕ/σ²ₑ 是信噪比：q 小意味着水平变化缓慢、需要平均掉很多噪声。对 SPY 258 个月的月度对数波动率，σ̂²ₑ=0.089，σ̂²ₕ=0.045，所以 q=0.50。
卡尔曼滤波每个月分两步估计水平：先预测 μ̂_(t|t-1)=μ̂_(t-1|t-1)，再用新息修正 μ̂_(t|t)=μ̂_(t|t-1)+Kₜ (yₜ-μ̂_(t|t-1))。启动之后增益稳定在 K=P/(P+1)，其中 P=1/2(q+√(q²+4q))，此时滤波恰好就是权重为 K 的指数加权移动平均：这里 K=0.502，pd.Series(y).ewm(alpha=K, adjust=False).mean() 与滤波水平的差只有 7×10⁻¹⁰。同一个模型也是移动平均系数为 -(1-K)=-0.498 的ARIMA(0,1,1)：两者的 AIC 都是 290.526。滤波水平 res.filtered_state[0] 只用到 t 为止的数据。平滑水平 res.smoothed_state[0] 用整个样本：用相同参数在第 200 个月截断数据，滤波水平完全不变，而平滑水平移动了 0.116。平滑器是回望的工具，绝不能当信号。水平的预测是平的，为 -2.09，其 95% 区间从 ±0.83 扩大到 ±1.61。
- 噪声加水平：信噪比 q 决定每个新观测会让估计移动多少。
- 滤波就是 EWMA，局部水平模型就是 ARIMA(0,1,1)：一个想法，三个名字。
- 滤波用过去，平滑用未来：绝不要基于平滑序列交易。
实验：评分内容
- 局部水平拟合10 分
- 两个方差10 分
- 滤波与平滑水平5 分
- 稳态增益15 分
- 作为 EWMA 的滤波15 分
- 是否前视20 分
- 伪装的 ARIMA10 分
- 波动率研究15 分