مستوى خفي وراء قياسات صاخبة
يحوي نموذج فضاء الحالة حالة خفية تتطور مع الزمن وقياسات صاخبة لها. أبسطها نموذج المستوى المحلي: yₜ=μₜ+eₜ مع eₜ (variance σ²ₑ) وμₜ=μₜ₋₁+hₜ مع hₜ (variance σ²ₕ): المستوى μₜ سير عشوائي وكل قياس يضيف ضجيجًا مستقلًا. تقدّر UnobservedComponents(y, level='llevel').fit(disp=False) كلًا من σ²ₑ (باسم sigma2.irregular) وσ²ₕ (sigma2.level) بالإمكان الأعظم. والنسبة q=σ²ₕ/σ²ₑ هي نسبة الإشارة إلى الضجيج: q الصغيرة تعني مستوى بطيئًا وضجيجًا كثيرًا يجب تمليسه. وفي لوغاريتم تقلب SPY الشهري على 258 شهرًا σ̂²ₑ=0.089 وσ̂²ₕ=0.045 فتكون q=0.50.
يقدّر مرشح كالمان المستوى على خطوتين كل شهر: التنبؤ μ̂_(t|t-1)=μ̂_(t-1|t-1) ثم التصحيح بالمفاجأة μ̂_(t|t)=μ̂_(t|t-1)+Kₜ (yₜ-μ̂_(t|t-1)). بعد البداية يستقر الكسب عند K=P/(P+1) مع P=1/2(q+√(q²+4q)) ويصير المرشح عندها متوسطًا متحركًا أسيًا بوزن K: هنا K=0.502 وتطابق pd.Series(y).ewm(alpha=K, adjust=False).mean() المستوى المرشَّح بخطأ 7×10⁻¹⁰. والنموذج نفسه ARIMA(0,1,1) بمعامل متوسط متحرك -(1-K)=-0.498: لكليهما AIC يساوي 290.526. يستخدم المستوى المرشَّح res.filtered_state[0] البيانات حتى t فقط. أما المستوى الممَلَّس res.smoothed_state[0] فيستخدم العينة كلها: اقطع البيانات عند الشهر 200 بالمعاملات نفسها فلا يتغير المستوى المرشَّح إطلاقًا بينما يتحرك الممَلَّس بمقدار 0.116. المملِّس أداة للنظر إلى الوراء وليس إشارة أبدًا. وتنبؤ المستوى مسطّح عند -2.09 ويتسع مجاله 95% من ±0.83 إلى ±1.61.
- ضجيج زائد مستوى: تحدد نسبة الإشارة إلى الضجيج q كم تحرّك كل مشاهدة جديدة التقدير.
- المرشح EWMA ونموذج المستوى المحلي هو ARIMA(0,1,1): ثلاثة أسماء لفكرة واحدة.
- المرشَّح يستخدم الماضي والممَلَّس يستخدم المستقبل: لا تتداول أبدًا على سلسلة ممَلَّسة.
المختبر: ما الذي يُقيَّم
- ملاءمة المستوى المحلي10 نقطة
- التباينان10 نقطة
- المستويان المرشَّح والممَلَّس5 نقطة
- الكسب المستقر15 نقطة
- المرشح بوصفه EWMA15 نقطة
- هل يستشرف المستقبل؟20 نقطة
- ARIMA متنكر10 نقطة
- دراسة التقلب15 نقطة