Un niveau caché derrière des mesures bruitées
Un modèle espace-état a un état caché qui évolue dans le temps et des observations bruitées de cet état. Le plus simple, le modèle à niveau local, est yₜ=μₜ+eₜ avec eₜ (variance σ²ₑ), et μₜ=μₜ₋₁+hₜ avec hₜ (variance σ²ₕ) : le niveau μₜ est une marche aléatoire et chaque mesure ajoute un bruit indépendant. UnobservedComponents(y, level='llevel').fit(disp=False) estime σ²ₑ (nommé sigma2.irregular) et σ²ₕ (sigma2.level) par maximum de vraisemblance. Le rapport q=σ²ₕ/σ²ₑ est le rapport signal sur bruit : un petit q signifie un niveau lent et beaucoup de bruit à moyenner. Pour la log-volatilité mensuelle de SPY sur 258 mois, σ̂²ₑ=0,089 et σ̂²ₕ=0,045, donc q=0,50.
Le filtre de Kalman estime le niveau en deux temps chaque mois : prédire μ̂_(t|t-1)=μ̂_(t-1|t-1), puis corriger par la surprise, μ̂_(t|t)=μ̂_(t|t-1)+Kₜ (yₜ-μ̂_(t|t-1)). Après un démarrage, le gain se stabilise à K=P/(P+1) avec P=1/2(q+√(q²+4q)), et le filtre est alors exactement une moyenne mobile exponentielle de poids K : ici K=0,502, et pd.Series(y).ewm(alpha=K, adjust=False).mean() reproduit le niveau filtré à 7×10⁻¹⁰ près. Le même modèle est un ARIMA(0,1,1) de coefficient de moyenne mobile -(1-K)=-0,498 : les deux ont un AIC de 290,526. Le niveau filtré res.filtered_state[0] n'utilise que les données jusqu'à t. Le niveau lissé res.smoothed_state[0] utilise tout l'échantillon : coupez les données au mois 200 avec les mêmes paramètres, le niveau filtré ne change pas du tout, tandis que le niveau lissé bouge de 0,116. Un lisseur sert à regarder en arrière, jamais de signal. La prévision du niveau est plate à -2,09 et son intervalle à 95 % s'élargit de ±0,83 à ±1,61.
- Bruit plus niveau : le rapport signal sur bruit q fixe de combien chaque nouvelle observation déplace l'estimation.
- Le filtre est une EWMA et le modèle à niveau local est un ARIMA(0,1,1) : trois noms pour une idée.
- Le filtré utilise le passé, le lissé le futur : ne tradez jamais sur une série lissée.
Lab : ce qui est noté
- L'ajustement du niveau local10 pts
- Les deux variances10 pts
- Niveaux filtré et lissé5 pts
- Le gain stationnaire15 pts
- Le filtre comme EWMA15 pts
- Regarde-t-il en avant ?20 pts
- Un ARIMA déguisé10 pts
- L'étude de la volatilité15 pts