Um nível oculto atrás de medições ruidosas
Um modelo de espaço de estados tem um estado oculto que evolui no tempo e observações ruidosas dele. O mais simples, o modelo de nível local, é yₜ=μₜ+eₜ com eₜ (variance σ²ₑ), e μₜ=μₜ₋₁+hₜ com hₜ (variance σ²ₕ): o nível μₜ é um passeio aleatório e cada medição soma ruído independente. UnobservedComponents(y, level='llevel').fit(disp=False) estima σ²ₑ (chamada sigma2.irregular) e σ²ₕ (sigma2.level) por máxima verossimilhança. A razão q=σ²ₕ/σ²ₑ é a relação sinal-ruído: um q pequeno significa um nível lento e muito ruído a promediar. Para a log-volatilidade mensal do SPY em 258 meses, σ̂²ₑ=0,089 e σ̂²ₕ=0,045, logo q=0,50.
O filtro de Kalman estima o nível em dois passos a cada mês: prever μ̂_(t|t-1)=μ̂_(t-1|t-1) e corrigir com a surpresa, μ̂_(t|t)=μ̂_(t|t-1)+Kₜ (yₜ-μ̂_(t|t-1)). Depois de um arranque o ganho se estabiliza em K=P/(P+1) com P=1/2(q+√(q²+4q)), e então o filtro é exatamente uma média móvel exponencial de peso K: aqui K=0,502, e pd.Series(y).ewm(alpha=K, adjust=False).mean() reproduz o nível filtrado com erro de 7×10⁻¹⁰. O mesmo modelo é um ARIMA(0,1,1) com coeficiente de média móvel -(1-K)=-0,498: ambos têm AIC de 290,526. O nível filtrado res.filtered_state[0] usa dados só até t. O nível suavizado res.smoothed_state[0] usa a amostra inteira: corte os dados no mês 200 com os mesmos parâmetros e o nível filtrado não muda nada, enquanto o suavizado se move 0,116. Um suavizador serve para olhar para trás, nunca como sinal. A previsão do nível é plana em -2,09 e seu intervalo de 95 % se alarga de ±0,83 a ±1,61.
- Ruído mais nível: a relação sinal-ruído q define quanto cada observação nova move a estimativa.
- O filtro é uma EWMA e o modelo de nível local é um ARIMA(0,1,1): três nomes para uma ideia.
- O filtrado usa o passado, o suavizado o futuro: nunca negocie sobre uma série suavizada.
Lab: o que é avaliado
- O ajuste do nível local10 pts
- As duas variâncias10 pts
- Níveis filtrado e suavizado5 pts
- O ganho estacionário15 pts
- O filtro como EWMA15 pts
- Olha para a frente?20 pts
- Um ARIMA disfarçado10 pts
- O estudo da volatilidade15 pts