Un nivel oculto tras mediciones ruidosas
Un modelo de espacio de estados tiene un estado oculto que evoluciona en el tiempo y observaciones ruidosas de él. El más simple, el modelo de nivel local, es yₜ=μₜ+eₜ con eₜ (variance σ²ₑ), y μₜ=μₜ₋₁+hₜ con hₜ (variance σ²ₕ): el nivel μₜ es un paseo aleatorio y cada medición añade ruido independiente. UnobservedComponents(y, level='llevel').fit(disp=False) estima σ²ₑ (llamada sigma2.irregular) y σ²ₕ (sigma2.level) por máxima verosimilitud. La razón q=σ²ₕ/σ²ₑ es la relación señal-ruido: una q pequeña significa un nivel lento y mucho ruido que promediar. Para la log-volatilidad mensual de SPY en 258 meses, σ̂²ₑ=0,089 y σ̂²ₕ=0,045, así que q=0,50.
El filtro de Kalman estima el nivel en dos pasos cada mes: predecir μ̂_(t|t-1)=μ̂_(t-1|t-1) y corregir con la sorpresa, μ̂_(t|t)=μ̂_(t|t-1)+Kₜ (yₜ-μ̂_(t|t-1)). Tras un arranque la ganancia se estabiliza en K=P/(P+1) con P=1/2(q+√(q²+4q)), y entonces el filtro es exactamente una media móvil exponencial de peso K: aquí K=0,502, y pd.Series(y).ewm(alpha=K, adjust=False).mean() reproduce el nivel filtrado con error de 7×10⁻¹⁰. El mismo modelo es un ARIMA(0,1,1) con coeficiente de media móvil -(1-K)=-0,498: ambos tienen un AIC de 290,526. El nivel filtrado res.filtered_state[0] usa solo los datos hasta t. El nivel suavizado res.smoothed_state[0] usa toda la muestra: corte los datos en el mes 200 con los mismos parámetros y el nivel filtrado no cambia en absoluto, mientras que el suavizado se mueve 0,116. Un suavizador sirve para mirar atrás, nunca como señal. El pronóstico del nivel es plano en -2,09 y su intervalo del 95 % se ensancha de ±0,83 a ±1,61.
- Ruido más nivel: la relación señal-ruido q fija cuánto mueve la estimación cada observación nueva.
- El filtro es una EWMA y el modelo de nivel local es un ARIMA(0,1,1): tres nombres para una idea.
- El filtrado usa el pasado, el suavizado el futuro: nunca opere sobre una serie suavizada.
Lab: qué se califica
- El ajuste del nivel local10 pts
- Las dos varianzas10 pts
- Niveles filtrado y suavizado5 pts
- La ganancia estacionaria15 pts
- El filtro como EWMA15 pts
- ¿Mira hacia delante?20 pts
- Un ARIMA disfrazado10 pts
- El estudio de la volatilidad15 pts