Limites e continuidade

O que um limite diz

Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima quando sua entrada chega perto de um ponto, mesmo que a função não esteja definida nesse ponto. Escreve-se $\lim_{x\to a} f(x) = L$. Numericamente, calcula-se $f$ em pontos cada vez mais próximos de $a$, dos dois lados, e observa-se se os valores se estabilizam em um único número.

Uma função é contínua em $a$ quando o limite existe e é igual a $f(a)$. Há três maneiras de falhar: um buraco (o limite existe, mas $f(a)$ falta ou é diferente), um salto (os limites à esquerda e à direita diferem) e uma explosão (não há limite finito). Um salto noturno em um gráfico de preços parece um salto: o fechamento de um lado e a abertura do outro não se encontram.

• Limite: o valor em que $f(x)$ se estabiliza quando $x$ se aproxima de $a$.
• Limite lateral: o mesmo, aproximando-se apenas pela esquerda ($a^-$) ou pela direita ($a^+$).
• Contínua em $a$: o limite existe e é igual a $f(a)$.
• Buraco removível: o limite existe, mas a função é indefinida ou diferente no ponto.

A capitalização contínua é um limite: $(1+\frac{1}{n})^n$ vale 2 com $n=1$, 2,5937 com $n=10$, 2,7048 com $n=100$ e 2,7169 com $n=1000$, aproximando-se de $e\approx 2{,}71828$.

Lab: o que é avaliado

• Um limite com um buraco15 pts
• A capitalização em números15 pts
• Um limite famoso10 pts
• Perto do limite15 pts
• Tipos de descontinuidade15 pts
• Contínuas em zero10 pts
• Um passo pequeno demais20 pts