Limites et continuité

Ce que dit une limite

Une limite décrit la valeur dont une fonction s'approche lorsque son entrée se rapproche d'un point, même si la fonction n'est pas définie en ce point. On écrit $\lim_{x\to a} f(x) = L$ . Numériquement, on évalue $f$ en des points de plus en plus proches de $a$ , des deux côtés, et l'on regarde si les valeurs se stabilisent sur un seul nombre.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

Une fonction est continue en $a$ lorsque la limite existe et vaut $f(a)$ . Il y a trois façons d'échouer : un trou (la limite existe mais $f(a)$ est absente ou différente), un saut (les limites à gauche et à droite diffèrent) et une explosion (pas de limite finie). Un écart de nuit sur un graphique de prix ressemble à un saut : le cours de clôture d'un côté et celui d'ouverture de l'autre ne se rejoignent pas.

Limite : la valeur sur laquelle $f(x)$ se stabilise quand $x$ s'approche de $a$ .
Limite unilatérale : la même chose, en n'approchant que par la gauche ( $a^-$ ) ou la droite ( $a^+$ ).
Continue en $a$ : la limite existe et vaut $f(a)$ .
Trou supprimable : la limite existe mais la fonction est indéfinie ou différente en ce point.

Une limite par les nombresPrenons

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

, indéfinie en

x=2

. En

x=1{,}9 ; 1{,}99 ; 1{,}999

elle vaut

3{,}9 ; 3{,}99 ; 3{,}999

; en

2{,}1 ; 2{,}01 ; 2{,}001

elle vaut

4{,}1 ; 4{,}01 ; 4{,}001

. Les deux côtés tendent vers 4 : la limite est 4. La factorisation le confirme :

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

La capitalisation continue est une limite : $(1+\frac{1}{n})^n$ vaut 2 pour $n=1$ , 2,5937 pour $n=10$ , 2,7048 pour $n=100$ et 2,7169 pour $n=1000$ , et tend vers $e\approx 2{,}71828$ .

Ne réduisez pas le pas indéfinimentUn ordinateur conserve environ 16 chiffres significatifs. Avec

h=10^{-20}

x+h

est stocké comme

x

et la différence de deux nombres presque égaux n'est que du bruit d'arrondi. Les limites et dérivées numériques fonctionnent mieux avec un pas modéré, autour de

10^{-5}

10^{-8}

Lab : ce qui est noté

Une limite avec un trou15 pts
La capitalisation en chiffres15 pts
Une limite célèbre10 pts
Près de la limite15 pts
Types de discontinuité15 pts
Continues en zéro10 pts
Un pas trop petit20 pts

Ce que dit une limite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

Limite : la valeur sur laquelle $f(x)$ se stabilise quand $x$ s'approche de $a$ .
Limite unilatérale : la même chose, en n'approchant que par la gauche ( $a^-$ ) ou la droite ( $a^+$ ).
Continue en $a$ : la limite existe et vaut $f(a)$ .
Trou supprimable : la limite existe mais la fonction est indéfinie ou différente en ce point.

Une limite par les nombresPrenons

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

, indéfinie en

x=2

. En

x=1{,}9 ; 1{,}99 ; 1{,}999

elle vaut

3{,}9 ; 3{,}99 ; 3{,}999

; en

2{,}1 ; 2{,}01 ; 2{,}001

elle vaut

4{,}1 ; 4{,}01 ; 4{,}001

. Les deux côtés tendent vers 4 : la limite est 4. La factorisation le confirme :

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

La capitalisation continue est une limite : $(1+\frac{1}{n})^n$ vaut 2 pour $n=1$ , 2,5937 pour $n=10$ , 2,7048 pour $n=100$ et 2,7169 pour $n=1000$ , et tend vers $e\approx 2{,}71828$ .

Ne réduisez pas le pas indéfinimentUn ordinateur conserve environ 16 chiffres significatifs. Avec

h=10^{-20}

x+h

est stocké comme

x

et la différence de deux nombres presque égaux n'est que du bruit d'arrondi. Les limites et dérivées numériques fonctionnent mieux avec un pas modéré, autour de

10^{-5}

10^{-8}

Lab : ce qui est noté

Une limite avec un trou15 pts
La capitalisation en chiffres15 pts
Une limite célèbre10 pts
Près de la limite15 pts
Types de discontinuité15 pts
Continues en zéro10 pts
Un pas trop petit20 pts

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