Grenzwerte und Stetigkeit

Was ein Grenzwert aussagt

Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihre Eingabe einem Punkt nahe kommt, selbst wenn die Funktion an diesem Punkt nicht definiert ist. Man schreibt $\lim_{x\to a} f(x) = L$. Numerisch wertet man $f$ an Punkten aus, die immer näher an $a$ liegen, von beiden Seiten, und beobachtet, ob sich die Werte auf eine Zahl einpendeln.

Eine Funktion ist an $a$ stetig, wenn der Grenzwert existiert und gleich $f(a)$ ist. Es gibt drei Arten zu scheitern: eine Lücke (der Grenzwert existiert, aber $f(a)$ fehlt oder ist anders), einen Sprung (links- und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden sich) und ein Divergieren (kein endlicher Grenzwert). Eine Übernachtlücke im Kurschart sieht wie ein Sprung aus: Schlusskurs auf der einen und Eröffnungskurs auf der anderen Seite treffen sich nicht.

• Grenzwert: der Wert, auf den sich $f(x)$ einpendelt, wenn $x$ gegen $a$ geht.
• Einseitiger Grenzwert: dasselbe, aber nur von links ($a^-$) oder rechts ($a^+$) genähert.
• Stetig an $a$: Der Grenzwert existiert und ist gleich $f(a)$.
• Hebbare Lücke: Der Grenzwert existiert, aber die Funktion ist dort undefiniert oder anders.

Stetige Verzinsung ist ein Grenzwert: $(1+\frac{1}{n})^n$ ergibt 2 bei $n=1$, 2,5937 bei $n=10$, 2,7048 bei $n=100$ und 2,7169 bei $n=1000$ und nähert sich $e\approx 2{,}71828$.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Grenzwert mit Lücke15 Pkt.
• Verzinsung in Zahlen15 Pkt.
• Ein berühmter Grenzwert10 Pkt.
• Nahe am Grenzwert15 Pkt.
• Arten von Unstetigkeit15 Pkt.
• Stetig in null10 Pkt.
• Ein zu kleiner Schritt20 Pkt.