Límites y continuidad

Qué dice un límite

Un límite describe el valor al que se acerca una función cuando su entrada se aproxima a un punto, incluso si la función no está definida en ese punto. Se escribe $\lim_{x\to a} f(x) = L$ . Numéricamente se evalúa $f$ en puntos cada vez más cercanos a $a$ , por ambos lados, y se observa si los valores se estabilizan en un solo número.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

Una función es continua en $a$ cuando el límite existe y es igual a $f(a)$ . Hay tres maneras de fallar: un hueco (el límite existe pero $f(a)$ falta o es distinto), un salto (los límites por la izquierda y por la derecha difieren) y una divergencia (no hay límite finito). Un salto nocturno en un gráfico de precios parece un salto: el cierre de un lado y la apertura del otro no se encuentran.

Límite: el valor en el que se estabiliza $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ .
Límite lateral: lo mismo, acercándose solo por la izquierda ( $a^-$ ) o la derecha ( $a^+$ ).
Continua en $a$ : el límite existe y es igual a $f(a)$ .
Hueco evitable: el límite existe pero la función no está definida o es distinta en el punto.

Un límite con númerosTomemos

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

, indefinida en

x=2

. En

x=1{,}9; 1{,}99; 1{,}999

3{,}9; 3{,}99; 3{,}999

; en

2{,}1; 2{,}01; 2{,}001

4{,}1; 4{,}01; 4{,}001

. Ambos lados van hacia 4, así que el límite es 4. Factorizar lo confirma:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

La capitalización continua es un límite: $(1+\frac{1}{n})^n$ vale 2 con $n=1$ , 2,5937 con $n=10$ , 2,7048 con $n=100$ y 2,7169 con $n=1000$ , y se acerca a $e\approx 2{,}71828$ .

No reduzca el paso para siempreUn ordenador guarda unas 16 cifras significativas. Con

h=10^{-20}

x+h

se almacena como

x

y la diferencia de dos números casi iguales es puro ruido de redondeo. Los límites y derivadas numéricos funcionan mejor con un paso moderado, de alrededor de

10^{-5}

10^{-8}

Lab: qué se califica

Un límite con un hueco15 pts
La capitalización en números15 pts
Un límite famoso10 pts
Cerca del límite15 pts
Tipos de discontinuidad15 pts
Continuas en cero10 pts
Un paso demasiado pequeño20 pts

Qué dice un límite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

Límite: el valor en el que se estabiliza $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ .
Límite lateral: lo mismo, acercándose solo por la izquierda ( $a^-$ ) o la derecha ( $a^+$ ).
Continua en $a$ : el límite existe y es igual a $f(a)$ .
Hueco evitable: el límite existe pero la función no está definida o es distinta en el punto.

Un límite con númerosTomemos

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

, indefinida en

x=2

. En

x=1{,}9; 1{,}99; 1{,}999

3{,}9; 3{,}99; 3{,}999

; en

2{,}1; 2{,}01; 2{,}001

4{,}1; 4{,}01; 4{,}001

. Ambos lados van hacia 4, así que el límite es 4. Factorizar lo confirma:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

La capitalización continua es un límite: $(1+\frac{1}{n})^n$ vale 2 con $n=1$ , 2,5937 con $n=10$ , 2,7048 con $n=100$ y 2,7169 con $n=1000$ , y se acerca a $e\approx 2{,}71828$ .

No reduzca el paso para siempreUn ordenador guarda unas 16 cifras significativas. Con

h=10^{-20}

x+h

se almacena como

x

y la diferencia de dos números casi iguales es puro ruido de redondeo. Los límites y derivadas numéricos funcionan mejor con un paso moderado, de alrededor de

10^{-5}

10^{-8}

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La capitalización en números15 pts
Un límite famoso10 pts
Cerca del límite15 pts
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Continuas en cero10 pts
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