النهايات والاستمرارية

ماذا تقول النهاية

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها دالة عندما يقترب مدخلها من نقطة، حتى لو لم تكن الدالة معرّفة عند تلك النقطة. نكتب $\lim_{x\to a} f(x) = L$ . عدديًا تحسب $f$ عند نقاط أقرب فأقرب من $a$ من الجهتين وتراقب هل تستقر القيم عند رقم واحد.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

تكون الدالة متصلة عند $a$ حين توجد النهاية وتساوي $f(a)$ . وهناك ثلاث طرق للإخفاق: ثقب (النهاية موجودة لكن $f(a)$ غائبة أو مختلفة)، وقفزة (النهايتان من اليسار واليمين مختلفتان)، وانفجار (لا نهاية منتهية). وفجوة الليل في رسم الأسعار تبدو كقفزة: سعر الإغلاق من جهة وسعر الافتتاح من الجهة الأخرى لا يلتقيان.

النهاية: القيمة التي تستقر عندها $f(x)$ حين يقترب $x$ من $a$ .
النهاية أحادية الجانب: الشيء نفسه مع الاقتراب من اليسار ( $a^-$ ) أو اليمين ( $a^+$ ) فقط.
متصلة عند $a$ : النهاية موجودة وتساوي $f(a)$ .
ثقب قابل للإزالة: النهاية موجودة لكن الدالة غير معرّفة أو مختلفة عند النقطة.

نهاية بالأرقاملنأخذ

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

غير المعرّفة عند

x=2

. عند

x=1.9, 1.99, 1.999

تعطي

3.9, 3.99, 3.999

؛ وعند

2.1, 2.01, 2.001

تعطي

4.1, 4.01, 4.001

. الجهتان تتجهان إلى 4 فالنهاية 4. والتحليل إلى عوامل يؤكد ذلك:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

الرسملة المستمرة نهاية: فالمقدار $(1+\frac{1}{n})^n$ يساوي 2 عند $n=1$ و2.5937 عند $n=10$ و2.7048 عند $n=100$ و2.7169 عند $n=1000$ ، ويقترب من $e\approx 2.71828$ .

لا تُصغّر الخطوة إلى ما لا نهايةيحتفظ الحاسوب بنحو 16 رقمًا معنويًا. إذا جرّبت

h=10^{-20}

يُخزَّن

x+h

على أنه

x

ويصبح فرق عددين متقاربين جدًا مجرد ضجيج تقريب. وتعمل النهايات والمشتقات العددية أفضل بخطوة معتدلة، نحو

10^{-5}

إلى

10^{-8}

المختبر: ما الذي يُقيَّم

نهاية مع ثقب15 نقطة
الرسملة بالأرقام15 نقطة
نهاية مشهورة10 نقطة
قريبًا من النهاية15 نقطة
أنواع الانقطاع15 نقطة
متصلة عند الصفر10 نقطة
خطوة صغيرة جدًا20 نقطة

ماذا تقول النهاية

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

النهاية: القيمة التي تستقر عندها $f(x)$ حين يقترب $x$ من $a$ .
النهاية أحادية الجانب: الشيء نفسه مع الاقتراب من اليسار ( $a^-$ ) أو اليمين ( $a^+$ ) فقط.
متصلة عند $a$ : النهاية موجودة وتساوي $f(a)$ .
ثقب قابل للإزالة: النهاية موجودة لكن الدالة غير معرّفة أو مختلفة عند النقطة.

نهاية بالأرقاملنأخذ

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

غير المعرّفة عند

x=2

. عند

x=1.9, 1.99, 1.999

تعطي

3.9, 3.99, 3.999

؛ وعند

2.1, 2.01, 2.001

تعطي

4.1, 4.01, 4.001

. الجهتان تتجهان إلى 4 فالنهاية 4. والتحليل إلى عوامل يؤكد ذلك:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

لا تُصغّر الخطوة إلى ما لا نهايةيحتفظ الحاسوب بنحو 16 رقمًا معنويًا. إذا جرّبت

h=10^{-20}

يُخزَّن

x+h

على أنه

x

ويصبح فرق عددين متقاربين جدًا مجرد ضجيج تقريب. وتعمل النهايات والمشتقات العددية أفضل بخطوة معتدلة، نحو

10^{-5}

إلى

10^{-8}

المختبر: ما الذي يُقيَّم

نهاية مع ثقب15 نقطة
الرسملة بالأرقام15 نقطة
نهاية مشهورة10 نقطة
قريبًا من النهاية15 نقطة
أنواع الانقطاع15 نقطة
متصلة عند الصفر10 نقطة
خطوة صغيرة جدًا20 نقطة

النهايات والاستمرارية

ماذا تقول النهاية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

النهايات والاستمرارية

ماذا تقول النهاية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.