極限と連続性

極限が表すもの

極限とは、入力がある点に近づくとき、関数が近づいていく値のことで、その点で関数が定義されていなくても考えられます。 $\lim_{x\to a} f(x) = L$ と書きます。数値的には、 $a$ に両側からどんどん近い点で $f$ を計算し、値が1つの数に落ち着くかを見ます。

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

関数が $a$ で連続とは、極限が存在し、それが $f(a)$ に等しいことです。連続でなくなる場合は3通りあります。穴（極限はあるが $f(a)$ が未定義または異なる）、飛び（左右の極限が異なる）、発散（有限の極限がない）です。価格チャートの夜間ギャップは飛びに見えます。片側の終値ともう片側の始値がつながっていないからです。

極限： $x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が落ち着く値。
片側極限：左側（ $a^-$ ）または右側（ $a^+$ ）からだけ近づけた極限。
$a$ で連続：極限が存在し $f(a)$ に等しい。
除去可能な穴：極限は存在するが、その点で関数が未定義または異なる。

数で見る極限

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

は

x=2

で未定義です。

x=1.9, 1.99, 1.999

では

3.9, 3.99, 3.999

、

x=2.1, 2.01, 2.001

では

4.1, 4.01, 4.001

になります。両側とも4に向かうので極限は4です。因数分解でも確認できます：

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

。

連続複利は極限です。 $(1+\frac{1}{n})^n$ は $n=1$ で2、 $n=10$ で2.5937、 $n=100$ で2.7048、 $n=1000$ で2.7169となり、 $e\approx 2.71828$ に近づきます。

刻み幅を小さくし続けてはいけないコンピュータが保持する有効桁数は約16桁です。

h=10^{-20}

にすると

x+h

は

x

として保存され、ほぼ等しい2数の差は丸めノイズだけになります。数値的な極限や微分は、

10^{-5}

から

10^{-8}

程度の適度な刻み幅が最も安定します。

ラボ：採点される内容

穴のある関数の極限15点
複利を数で見る15点
有名な極限10点
極限の近く15点
不連続の種類15点
0で連続なもの10点
小さすぎる刻み幅20点

極限が表すもの

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(1)

極限： $x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が落ち着く値。
片側極限：左側（ $a^-$ ）または右側（ $a^+$ ）からだけ近づけた極限。
$a$ で連続：極限が存在し $f(a)$ に等しい。
除去可能な穴：極限は存在するが、その点で関数が未定義または異なる。

数で見る極限

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

は

x=2

で未定義です。

x=1.9, 1.99, 1.999

では

3.9, 3.99, 3.999

、

x=2.1, 2.01, 2.001

では

4.1, 4.01, 4.001

になります。両側とも4に向かうので極限は4です。因数分解でも確認できます：

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4

。

連続複利は極限です。 $(1+\frac{1}{n})^n$ は $n=1$ で2、 $n=10$ で2.5937、 $n=100$ で2.7048、 $n=1000$ で2.7169となり、 $e\approx 2.71828$ に近づきます。

刻み幅を小さくし続けてはいけないコンピュータが保持する有効桁数は約16桁です。

h=10^{-20}

にすると

x+h

は

x

として保存され、ほぼ等しい2数の差は丸めノイズだけになります。数値的な極限や微分は、

10^{-5}

から

10^{-8}

程度の適度な刻み幅が最も安定します。

ラボ：採点される内容

穴のある関数の極限15点
複利を数で見る15点
有名な極限10点
極限の近く15点
不連続の種類15点
0で連続なもの10点
小さすぎる刻み幅20点

極限が表すもの

ラボ：採点される内容

コードを実行するにはログインしてください。

極限と連続性

極限が表すもの

ラボ：採点される内容

コードを実行するにはログインしてください。