Filtrado de señales y espectros

Suavizar una serie ruidosa y hallar su ritmo

Un filtro convierte una serie en otra mezclando cada valor con sus vecinos. Una media móvil de $N$ días es el filtro más simple: cada salida es el promedio de las últimas $N$ entradas, así que el ruido disminuye pero la salida también se retrasa. Una media móvil exponencial (MME) da más peso a los días recientes: $y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1}$ , donde $\alpha=2/(N+1)$ es el peso de suavizado. signal.lfilter(b, a, x) ejecuta un filtro así sobre una serie, usando solo valores pasados y presentes. El retraso medio de una MME es $(1-\alpha)/\alpha$ días, y el de una media móvil de $N$ días es $(N-1)/2$ días, así que una media de 19 días y una MME con $\alpha=0{,}1$ se retrasan ambas unos 9 días.

La segunda tarea es hallar ciclos. signal.periodogram(x) reparte la varianza de una serie por frecuencias, medidas en ciclos por día. Un pico en la frecuencia $f$ indica un patrón repetido de periodo $1/f$ días. Con una observación por día solo se ven frecuencias hasta $0{,}5$ ciclos por día, el límite de Nyquist, porque un ciclo más rápido no se distingue de uno más lento. Una advertencia importa muchísimo al operar. signal.filtfilt pasa el filtro hacia delante y luego hacia atrás, lo que elimina el retraso, pero entonces cada salida usa valores futuros. Una señal construida con filtfilt parece perfecta en un backtest y no se puede operar, porque los datos de mañana no están disponibles hoy. Use solo filtros causales como lfilter para todo lo que piense operar.

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Tres números y un cicloTomemos la serie

10;12;11

con

\alpha=0{,}5

y empecemos la MME en el primer valor. Entonces

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Una media móvil de 3 días de

10;12;11;13

11

y luego

12

. Una ventana de 19 días significa

\alpha=2/20=0{,}1

y un retraso de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

días. Un ciclo puro que se repite

0{,}05

veces por día tiene un periodo de

1/0{,}05=20

días, y el periodograma alcanza su pico justo ahí. Con datos reales, los rendimientos diarios de SPY tienen una autocorrelación de orden 1 de solo

-0{,}10

, pero sus cuadrados tienen

0{,}27

en el retardo 1 y

0{,}30

en el 5: los días grandes siguen a los días grandes, que es el agrupamiento de volatilidad. Una MME de los rendimientos al cuadrado con peso

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) llegó a

0{,}75\%

diario el 21 de agosto de 2026 (

11{,}9\%

anual), muy por debajo del

1{,}20\%

de toda la muestra. Eso es justo lo que una media lenta del pasado puede decir sin mirar al futuro.

Suavizar cuesta retraso: una ventana más larga o un $\alpha$ menor quita más ruido y retrasa más la señal.
Periodos a partir de picos: un pico del periodograma en la frecuencia $f$ significa un ciclo de $1/f$ días, hasta un límite de 0,5 ciclos por día.
Solo filtros causales para operar: filtfilt usa el futuro, así que sirve para análisis, nunca para una señal real.

Lab: qué se califica

Un paso de MME10 pts
Una media móvil10 pts
El peso para una ventana10 pts
Un periodo a partir de una frecuencia10 pts
El retraso de una MME10 pts
Qué hace cada rutina15 pts
Por qué filtfilt no se puede operar35 pts

Suavizar una serie ruidosa y hallar su ritmo

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Tres números y un cicloTomemos la serie

10;12;11

con

\alpha=0{,}5

y empecemos la MME en el primer valor. Entonces

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Una media móvil de 3 días de

10;12;11;13

11

y luego

12

. Una ventana de 19 días significa

\alpha=2/20=0{,}1

y un retraso de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

días. Un ciclo puro que se repite

0{,}05

veces por día tiene un periodo de

1/0{,}05=20

días, y el periodograma alcanza su pico justo ahí. Con datos reales, los rendimientos diarios de SPY tienen una autocorrelación de orden 1 de solo

-0{,}10

, pero sus cuadrados tienen

0{,}27

en el retardo 1 y

0{,}30

en el 5: los días grandes siguen a los días grandes, que es el agrupamiento de volatilidad. Una MME de los rendimientos al cuadrado con peso

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) llegó a

0{,}75\%

diario el 21 de agosto de 2026 (

11{,}9\%

anual), muy por debajo del

1{,}20\%

de toda la muestra. Eso es justo lo que una media lenta del pasado puede decir sin mirar al futuro.

Suavizar cuesta retraso: una ventana más larga o un $\alpha$ menor quita más ruido y retrasa más la señal.
Periodos a partir de picos: un pico del periodograma en la frecuencia $f$ significa un ciclo de $1/f$ días, hasta un límite de 0,5 ciclos por día.
Solo filtros causales para operar: filtfilt usa el futuro, así que sirve para análisis, nunca para una señal real.

Lab: qué se califica

Un paso de MME10 pts
Una media móvil10 pts
El peso para una ventana10 pts
Un periodo a partir de una frecuencia10 pts
El retraso de una MME10 pts
Qué hace cada rutina15 pts
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