Filtragem de sinais e espectros

Suavizar uma série ruidosa e achar seu ritmo

Um filtro transforma uma série em outra misturando cada valor com seus vizinhos. Uma média móvel de $N$ dias é o filtro mais simples: cada saída é a média das últimas $N$ entradas, então o ruído diminui, mas a saída também atrasa. Uma média móvel exponencial (MME) dá mais peso aos dias recentes: $y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1}$ , em que $\alpha=2/(N+1)$ é o peso de suavização. signal.lfilter(b, a, x) roda um filtro assim sobre uma série, usando só valores passados e presentes. O atraso médio de uma MME é $(1-\alpha)/\alpha$ dias, e o de uma média móvel de $N$ dias é $(N-1)/2$ dias, então uma média de 19 dias e uma MME com $\alpha=0{,}1$ atrasam ambas cerca de 9 dias.

A segunda tarefa é achar ciclos. signal.periodogram(x) reparte a variância de uma série por frequências, medidas em ciclos por dia. Um pico na frequência $f$ indica um padrão repetido de período $1/f$ dias. Com uma observação por dia só se veem frequências até $0{,}5$ ciclo por dia, o limite de Nyquist, porque um ciclo mais rápido não se distingue de um mais lento. Um aviso importa muitíssimo em trading. signal.filtfilt passa o filtro para a frente e depois para trás, o que elimina o atraso, mas então cada saída usa valores futuros. Um sinal construído com filtfilt parece perfeito num backtest e não pode ser negociado, porque os dados de amanhã não estão disponíveis hoje. Use só filtros causais como lfilter para tudo que pretende negociar.

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Três números e um cicloTome a série

10;12;11

com

\alpha=0{,}5

e comece a MME no primeiro valor. Então

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Uma média móvel de 3 dias de

10;12;11;13

dá

11

e depois

12

. Uma janela de 19 dias significa

\alpha=2/20=0{,}1

e um atraso de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

dias. Um ciclo puro que se repete

0{,}05

vez por dia tem período de

1/0{,}05=20

dias, e o periodograma tem pico exatamente ali. Em dados reais, os retornos diários do SPY têm autocorrelação de ordem 1 de apenas

-0{,}10

, mas seus quadrados têm

0{,}27

na defasagem 1 e

0{,}30

na 5: dias grandes seguem dias grandes, o agrupamento de volatilidade. Uma MME dos retornos ao quadrado com peso

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) chegou a

0{,}75\%

ao dia em 21 de agosto de 2026 (

11{,}9\%

ao ano), bem abaixo dos

1{,}20\%

da amostra inteira. É exatamente o que uma média lenta do passado pode dizer sem olhar para o futuro.

Suavizar custa atraso: uma janela maior ou um $\alpha$ menor remove mais ruído e atrasa mais o sinal.
Períodos a partir de picos: um pico do periodograma na frequência $f$ significa um ciclo de $1/f$ dias, até o limite de 0,5 ciclo por dia.
Só filtros causais para negociar: filtfilt usa o futuro, então serve para análise, nunca para um sinal real.

Lab: o que é avaliado

Um passo de MME10 pts
Uma média móvel10 pts
O peso para uma janela10 pts
Um período a partir de uma frequência10 pts
O atraso de uma MME10 pts
O que cada rotina faz15 pts
Por que filtfilt não pode ser negociado35 pts

Suavizar uma série ruidosa e achar seu ritmo

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Três números e um cicloTome a série

10;12;11

com

\alpha=0{,}5

e comece a MME no primeiro valor. Então

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Uma média móvel de 3 dias de

10;12;11;13

dá

11

e depois

12

. Uma janela de 19 dias significa

\alpha=2/20=0{,}1

e um atraso de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

dias. Um ciclo puro que se repete

0{,}05

vez por dia tem período de

1/0{,}05=20

dias, e o periodograma tem pico exatamente ali. Em dados reais, os retornos diários do SPY têm autocorrelação de ordem 1 de apenas

-0{,}10

, mas seus quadrados têm

0{,}27

na defasagem 1 e

0{,}30

na 5: dias grandes seguem dias grandes, o agrupamento de volatilidade. Uma MME dos retornos ao quadrado com peso

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) chegou a

0{,}75\%

ao dia em 21 de agosto de 2026 (

11{,}9\%

ao ano), bem abaixo dos

1{,}20\%

da amostra inteira. É exatamente o que uma média lenta do passado pode dizer sem olhar para o futuro.

Suavizar custa atraso: uma janela maior ou um $\alpha$ menor remove mais ruído e atrasa mais o sinal.
Períodos a partir de picos: um pico do periodograma na frequência $f$ significa um ciclo de $1/f$ dias, até o limite de 0,5 ciclo por dia.
Só filtros causais para negociar: filtfilt usa o futuro, então serve para análise, nunca para um sinal real.

Lab: o que é avaliado

Um passo de MME10 pts
Uma média móvel10 pts
O peso para uma janela10 pts
Um período a partir de uma frequência10 pts
O atraso de uma MME10 pts
O que cada rotina faz15 pts
Por que filtfilt não pode ser negociado35 pts

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