信号のフィルタリングとスペクトル

ノイズのある系列を滑らかにしてリズムを見つける

フィルタは、各値を近隣の値と混ぜて、ある系列を別の系列に変えます。$N$ 日の移動平均が最も簡単なフィルタで、出力は直近 $N$ 個の入力の平均なので、ノイズは減りますが出力は遅れます。指数移動平均（EMA）は最近の日により大きな重みを与えます：$y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1}$、ここで $\alpha=2/(N+1)$ が平滑化の重みです。signal.lfilter(b, a, x) は過去と現在の値だけを使って、こうしたフィルタを系列に適用します。EMAの平均遅れは $(1-\alpha)/\alpha$ 日、$N$ 日移動平均の遅れは $(N-1)/2$ 日なので、19日平均と $\alpha=0.1$ のEMAはどちらも約9日遅れます。

2つ目の仕事は周期を見つけることです。signal.periodogram(x) は系列の分散を、1日あたりの周期数で測った周波数ごとに分けます。周波数 $f$ のピークは、周期 $1/f$ 日の繰り返しパターンを意味します。1日1回の観測では、$0.5$ 周期/日（ナイキスト限界）までの周波数しか見えません。より速い周期はより遅い周期と区別できないからです。取引では非常に重要な注意があります。signal.filtfilt はフィルタを順方向、次に逆方向に通して遅れをなくしますが、そのとき各出力は未来の値を使います。filtfilt で作ったシグナルはバックテストでは完璧に見えますが、明日のデータは今日は手に入らないので取引できません。取引するものには lfilter のような因果的なフィルタだけを使ってください。

• 平滑化には遅れが伴う：窓が長いほど、また $\alpha$ が小さいほど、ノイズは減るが信号は遅れる。
• ピークから周期を読む：周波数 $f$ のピークは周期 $1/f$ 日を意味し、上限は0.5周期/日。
• 取引には因果的フィルタだけ：filtfilt は未来を使うので分析用で、実際のシグナルには使えない。

ラボ：採点される内容

• EMAの1歩10点
• 移動平均10点
• 窓に対応する重み10点
• 周波数から周期10点
• EMAの遅れ10点
• 各ルーチンの働き15点
• なぜfiltfiltは取引できないか35点