Filtrage de signaux et spectres

Lisser une série bruitée et trouver son rythme

Un filtre transforme une série en une autre en mélangeant chaque valeur avec ses voisines. Une moyenne mobile sur $N$ jours est le filtre le plus simple : chaque sortie est la moyenne des $N$ dernières entrées, donc le bruit diminue mais la sortie prend aussi du retard. Une moyenne mobile exponentielle (MME) donne plus de poids aux jours récents : $y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1}$ , où $\alpha=2/(N+1)$ est le poids de lissage. signal.lfilter(b, a, x) exécute un tel filtre sur une série, en n'utilisant que des valeurs passées et présentes. Le retard moyen d'une MME est $(1-\alpha)/\alpha$ jours, et celui d'une moyenne mobile sur $N$ jours est $(N-1)/2$ jours, donc une moyenne de 19 jours et une MME avec $\alpha=0{,}1$ ont toutes deux environ 9 jours de retard.

La seconde tâche est la recherche de cycles. signal.periodogram(x) répartit la variance d'une série par fréquences, mesurées en cycles par jour. Un pic à la fréquence $f$ signale un motif répété de période $1/f$ jours. Avec une observation par jour, on ne voit que les fréquences jusqu'à $0{,}5$ cycle par jour, la limite de Nyquist, car un cycle plus rapide ne se distingue pas d'un cycle plus lent. Un avertissement compte énormément en trading. signal.filtfilt fait passer le filtre en avant puis en arrière, ce qui supprime le retard, mais chaque sortie utilise alors des valeurs futures. Un signal construit avec filtfilt paraît parfait dans un backtest et ne peut pas être tradé, car les données de demain ne sont pas disponibles aujourd'hui. N'utilisez que des filtres causaux comme lfilter pour tout ce que vous comptez trader.

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Trois nombres et un cyclePrenons la série

10;12;11

avec

\alpha=0{,}5

et démarrons la MME à la première valeur. Alors

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Une moyenne mobile sur 3 jours de

10;12;11;13

donne

11

puis

12

. Une fenêtre de 19 jours signifie

\alpha=2/20=0{,}1

et un retard de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

jours. Un cycle pur qui se répète

0{,}05

fois par jour a une période de

1/0{,}05=20

jours, et le périodogramme culmine exactement là. Sur données réelles, les rendements quotidiens de SPY ont une autocorrélation d'ordre 1 de seulement

-0{,}10

, mais leurs carrés ont

0{,}27

au retard 1 et

0{,}30

au retard 5 : les grosses journées suivent les grosses journées, c'est le regroupement de volatilité. Une MME des rendements au carré avec le poids

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) atteignait

0{,}75\%

par jour le 21 août 2026 (

11{,}9\%

par an), bien sous le

1{,}20\%

de l'échantillon complet. C'est exactement ce qu'une moyenne lente du passé peut dire sans regarder l'avenir.

Lisser coûte du retard : une fenêtre plus longue ou un $\alpha$ plus petit retire plus de bruit et retarde davantage le signal.
Des périodes à partir des pics : un pic du périodogramme à la fréquence $f$ signifie un cycle de $1/f$ jours, jusqu'à une limite de 0,5 cycle par jour.
Seulement des filtres causaux pour trader : filtfilt utilise le futur, donc il sert à l'analyse, jamais à un signal réel.

Lab : ce qui est noté

Un pas de MME10 pts
Une moyenne mobile10 pts
Le poids pour une fenêtre10 pts
Une période à partir d'une fréquence10 pts
Le retard d'une MME10 pts
Ce que fait chaque routine15 pts
Pourquoi filtfilt ne peut pas être tradé35 pts

Lisser une série bruitée et trouver son rythme

y_t=\alpha x_t+(1-\alpha)y_{t-1},\quad \alpha=\frac{2}{N+1},\quad \text{lag}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\ \ \Big(\text{moving average: }\frac{N-1}{2}\Big),\qquad \text{period}=\frac1f

(1)

Trois nombres et un cyclePrenons la série

10;12;11

avec

\alpha=0{,}5

et démarrons la MME à la première valeur. Alors

y_0=10

y_1=0{,}5\cdot12+0{,}5\cdot10=11

y_2=0{,}5\cdot11+0{,}5\cdot11=11

. Une moyenne mobile sur 3 jours de

10;12;11;13

donne

11

puis

12

. Une fenêtre de 19 jours signifie

\alpha=2/20=0{,}1

et un retard de

(1-0{,}1)/0{,}1=9

jours. Un cycle pur qui se répète

0{,}05

fois par jour a une période de

1/0{,}05=20

jours, et le périodogramme culmine exactement là. Sur données réelles, les rendements quotidiens de SPY ont une autocorrélation d'ordre 1 de seulement

-0{,}10

, mais leurs carrés ont

0{,}27

au retard 1 et

0{,}30

au retard 5 : les grosses journées suivent les grosses journées, c'est le regroupement de volatilité. Une MME des rendements au carré avec le poids

\alpha=0{,}06

(RiskMetrics

\lambda=0{,}94

) atteignait

0{,}75\%

par jour le 21 août 2026 (

11{,}9\%

par an), bien sous le

1{,}20\%

de l'échantillon complet. C'est exactement ce qu'une moyenne lente du passé peut dire sans regarder l'avenir.

Lisser coûte du retard : une fenêtre plus longue ou un $\alpha$ plus petit retire plus de bruit et retarde davantage le signal.
Des périodes à partir des pics : un pic du périodogramme à la fréquence $f$ signifie un cycle de $1/f$ jours, jusqu'à une limite de 0,5 cycle par jour.
Seulement des filtres causaux pour trader : filtfilt utilise le futur, donc il sert à l'analyse, jamais à un signal réel.

Lab : ce qui est noté

Un pas de MME10 pts
Une moyenne mobile10 pts
Le poids pour une fenêtre10 pts
Une période à partir d'une fréquence10 pts
Le retard d'une MME10 pts
Ce que fait chaque routine15 pts
Pourquoi filtfilt ne peut pas être tradé35 pts

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