Distances spatiales et classification

Grouper les actifs selon leur façon de bouger ensemble

Une distance dit à quel point deux choses sont éloignées. Pour des actifs, proche doit signifier qu'ils bougent ensemble, donc on transforme une corrélation $\rho$ en distance : $d=\sqrt{\tfrac12(1-\rho)}$ . Une corrélation parfaite $\rho=1$ donne une distance $0$ , l'absence de corrélation donne $0{,}71$ , et un mouvement exactement opposé $\rho=-1$ donne $1$ . Contrairement à $1-\rho$ , cette formule se comporte comme une vraie distance, on peut donc la donner aux outils de classification. scipy.spatial.distance.pdist calcule toutes les distances par paires d'un coup, et squareform convertit entre un tableau complet et la liste compacte qu'attendent les fonctions de classification. Pour trouver les plus proches voisins d'un point parmi beaucoup, scipy.spatial.cKDTree est bien plus rapide que de comparer à chaque point.

La classification hiérarchique part de chaque actif seul et fusionne à répétition les deux groupes les plus proches. La façon de mesurer la distance entre deux groupes est la règle de liaison. single utilise la paire la plus proche entre les groupes, complete la paire la plus éloignée et average la moyenne de toutes les distances croisées. hierarchy.linkage(distances, method) renvoie tout l'historique des fusions, avec la hauteur de chacune. hierarchy.fcluster(Z, t, 'distance') coupe ensuite l'arbre à la hauteur $t$ pour donner des étiquettes de groupes, ou avec 'maxclust' en un nombre choisi de groupes. En finance, les groupes deviennent une carte de la diversification : des actifs d'un même groupe portent surtout le même risque, donc en détenir cinq n'est pas faire cinq paris.

d_{ij}=\sqrt{\tfrac12(1-\rho_{ij})},\qquad d_{\text{average}}(A,B)=\frac{1}{|A||B|}\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}d_{ij},\qquad d_{\text{single}}=\min d_{ij},\quad d_{\text{complete}}=\max d_{ij}

(1)

Trois actifs à la mainUne corrélation de

0{,}5

donne une distance

\sqrt{0{,}25}=0{,}5

, et

0{,}8

donne

\sqrt{0{,}1}=0{,}316

. Prenons trois actifs de distances

AB=0{,}3

AC=0{,}8

BC=0{,}7

. La paire la plus proche est

A

B

, fusionnés à la hauteur

0{,}3

. La distance du nouveau groupe à

C

est

\min(0{,}8;0{,}7)=0{,}7

pour la liaison simple,

\max=0{,}8

pour la liaison complète et

(0{,}8+0{,}7)/2=0{,}75

pour la liaison moyenne, donc la seconde fusion a lieu à

0{,}75

avec la liaison moyenne. Couper l'arbre à la hauteur

0{,}5

laisse deux groupes,

\{A,B\}

\{C\}

. Sur données réelles,

55

grandes actions américaines ayant au moins

90\%

de l'historique donnent à

JPM

BAC

une corrélation de

0{,}79

, soit une distance de

0{,}327

. La classification à liaison moyenne coupée en

6

groupes donne un bloc de

37

actions, un bloc de

8

qui est exactement la santé (JNJ, PFE, MRK, ABT, AMGN, LLY, BMY, MDT), un bloc de

7

valeurs défensives (PG, KO, PEP, T, VZ, DUK, SO) et trois isolées.

Transformer la corrélation en distance : $d=\sqrt{(1-\rho)/2}$ vaut $0$ pour des jumeaux et $1$ pour des opposés.
La liaison est un choix : liaisons simple, complète et moyenne peuvent donner des hauteurs de fusion différentes pour les mêmes données.
Les groupes cartographient la diversification : choisir entre groupes, car les actifs d'un même groupe partagent l'essentiel de leur risque.

Lab : ce qui est noté

De la corrélation à la distance10 pts
De la distance à la corrélation10 pts
Une hauteur de liaison moyenne15 pts
Une hauteur de liaison simple10 pts
Groupes après une coupe10 pts
Ce que fait chaque routine15 pts
Groupes et diversification30 pts

Grouper les actifs selon leur façon de bouger ensemble

d_{ij}=\sqrt{\tfrac12(1-\rho_{ij})},\qquad d_{\text{average}}(A,B)=\frac{1}{|A||B|}\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}d_{ij},\qquad d_{\text{single}}=\min d_{ij},\quad d_{\text{complete}}=\max d_{ij}

(1)

Trois actifs à la mainUne corrélation de

0{,}5

donne une distance

\sqrt{0{,}25}=0{,}5

, et

0{,}8

donne

\sqrt{0{,}1}=0{,}316

. Prenons trois actifs de distances

AB=0{,}3

AC=0{,}8

BC=0{,}7

. La paire la plus proche est

A

B

, fusionnés à la hauteur

0{,}3

. La distance du nouveau groupe à

C

est

\min(0{,}8;0{,}7)=0{,}7

pour la liaison simple,

\max=0{,}8

pour la liaison complète et

(0{,}8+0{,}7)/2=0{,}75

pour la liaison moyenne, donc la seconde fusion a lieu à

0{,}75

avec la liaison moyenne. Couper l'arbre à la hauteur

0{,}5

laisse deux groupes,

\{A,B\}

\{C\}

. Sur données réelles,

55

grandes actions américaines ayant au moins

90\%

de l'historique donnent à

JPM

BAC

une corrélation de

0{,}79

, soit une distance de

0{,}327

. La classification à liaison moyenne coupée en

6

groupes donne un bloc de

37

actions, un bloc de

8

qui est exactement la santé (JNJ, PFE, MRK, ABT, AMGN, LLY, BMY, MDT), un bloc de

7

valeurs défensives (PG, KO, PEP, T, VZ, DUK, SO) et trois isolées.

Transformer la corrélation en distance : $d=\sqrt{(1-\rho)/2}$ vaut $0$ pour des jumeaux et $1$ pour des opposés.
La liaison est un choix : liaisons simple, complète et moyenne peuvent donner des hauteurs de fusion différentes pour les mêmes données.
Les groupes cartographient la diversification : choisir entre groupes, car les actifs d'un même groupe partagent l'essentiel de leur risque.

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De la corrélation à la distance10 pts
De la distance à la corrélation10 pts
Une hauteur de liaison moyenne15 pts
Une hauteur de liaison simple10 pts
Groupes après une coupe10 pts
Ce que fait chaque routine15 pts
Groupes et diversification30 pts

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