Distancias espaciales y agrupamiento

Agrupar activos según cómo se mueven juntos

Una distancia dice cuán separadas están dos cosas. Para activos, cerca debe significar que se mueven juntos, así que convertimos una correlación $\rho$ en distancia: $d=\sqrt{\tfrac12(1-\rho)}$ . Una correlación perfecta $\rho=1$ da distancia $0$ , ninguna correlación da $0{,}71$ y un movimiento exactamente opuesto $\rho=-1$ da $1$ . A diferencia de $1-\rho$ , esta fórmula se comporta como una distancia de verdad, así que puede darse a las herramientas de agrupamiento. scipy.spatial.distance.pdist calcula todas las distancias por pares de una vez, y squareform convierte entre una tabla completa y la lista compacta que esperan las funciones de agrupamiento. Para hallar los vecinos más cercanos de un punto entre muchos, scipy.spatial.cKDTree es mucho más rápido que comparar con cada punto.

El agrupamiento jerárquico empieza con cada activo solo y fusiona repetidamente los dos grupos más cercanos. Cómo medir la distancia entre dos grupos es la regla de enlace. single usa el par más cercano entre los grupos, complete el par más lejano y average la media de todas las distancias cruzadas. hierarchy.linkage(distances, method) devuelve todo el historial de fusiones, con la altura de cada una. hierarchy.fcluster(Z, t, 'distance') corta después el árbol a la altura $t$ para dar etiquetas de grupo, o con 'maxclust' en un número elegido de grupos. En finanzas los grupos se convierten en un mapa de diversificación: los activos de un grupo llevan sobre todo el mismo riesgo, así que tener cinco de ellos no son cinco apuestas.

d_{ij}=\sqrt{\tfrac12(1-\rho_{ij})},\qquad d_{\text{average}}(A,B)=\frac{1}{|A||B|}\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}d_{ij},\qquad d_{\text{single}}=\min d_{ij},\quad d_{\text{complete}}=\max d_{ij}

(1)

Tres activos a manoUna correlación de

0{,}5

da distancia

\sqrt{0{,}25}=0{,}5

, y

0{,}8

\sqrt{0{,}1}=0{,}316

. Tomemos tres activos con distancias

AB=0{,}3

AC=0{,}8

BC=0{,}7

. El par más cercano es

A

B

, que se fusionan a altura

0{,}3

. La distancia del nuevo grupo a

C

\min(0{,}8;0{,}7)=0{,}7

con enlace simple,

\max=0{,}8

con enlace completo y

(0{,}8+0{,}7)/2=0{,}75

con enlace promedio, así que la segunda fusión ocurre a

0{,}75

con enlace promedio. Cortar el árbol a altura

0{,}5

deja dos grupos,

\{A,B\}

\{C\}

. Con datos reales,

55

grandes acciones de EE. UU. con al menos el

90\%

del historial dan a

JPM

BAC

una correlación de

0{,}79

, es decir, una distancia de

0{,}327

. El agrupamiento de enlace promedio cortado en

6

grupos da un bloque de

37

acciones, un bloque de

8

que es justo el de salud (JNJ, PFE, MRK, ABT, AMGN, LLY, BMY, MDT), un bloque de

7

de valores defensivos (PG, KO, PEP, T, VZ, DUK, SO) y tres solitarias.

Convertir la correlación en distancia: $d=\sqrt{(1-\rho)/2}$ vale $0$ para gemelos y $1$ para opuestos.
El enlace es una elección: enlace simple, completo y promedio pueden dar alturas de fusión distintas con los mismos datos.
Los grupos mapean la diversificación: elegir entre grupos, porque los activos de un mismo grupo comparten la mayor parte de su riesgo.

Lab: qué se califica

De la correlación a la distancia10 pts
De la distancia a la correlación10 pts
Una altura de enlace promedio15 pts
Una altura de enlace simple10 pts
Grupos tras un corte10 pts
Qué hace cada rutina15 pts
Grupos y diversificación30 pts

Agrupar activos según cómo se mueven juntos

d_{ij}=\sqrt{\tfrac12(1-\rho_{ij})},\qquad d_{\text{average}}(A,B)=\frac{1}{|A||B|}\sum_{i\in A}\sum_{j\in B}d_{ij},\qquad d_{\text{single}}=\min d_{ij},\quad d_{\text{complete}}=\max d_{ij}

(1)

Tres activos a manoUna correlación de

0{,}5

da distancia

\sqrt{0{,}25}=0{,}5

, y

0{,}8

\sqrt{0{,}1}=0{,}316

. Tomemos tres activos con distancias

AB=0{,}3

AC=0{,}8

BC=0{,}7

. El par más cercano es

A

B

, que se fusionan a altura

0{,}3

. La distancia del nuevo grupo a

C

\min(0{,}8;0{,}7)=0{,}7

con enlace simple,

\max=0{,}8

con enlace completo y

(0{,}8+0{,}7)/2=0{,}75

con enlace promedio, así que la segunda fusión ocurre a

0{,}75

con enlace promedio. Cortar el árbol a altura

0{,}5

deja dos grupos,

\{A,B\}

\{C\}

. Con datos reales,

55

grandes acciones de EE. UU. con al menos el

90\%

del historial dan a

JPM

BAC

una correlación de

0{,}79

, es decir, una distancia de

0{,}327

. El agrupamiento de enlace promedio cortado en

6

grupos da un bloque de

37

acciones, un bloque de

8

que es justo el de salud (JNJ, PFE, MRK, ABT, AMGN, LLY, BMY, MDT), un bloque de

7

de valores defensivos (PG, KO, PEP, T, VZ, DUK, SO) y tres solitarias.

Convertir la correlación en distancia: $d=\sqrt{(1-\rho)/2}$ vale $0$ para gemelos y $1$ para opuestos.
El enlace es una elección: enlace simple, completo y promedio pueden dar alturas de fusión distintas con los mismos datos.
Los grupos mapean la diversificación: elegir entre grupos, porque los activos de un mismo grupo comparten la mayor parte de su riesgo.

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Una altura de enlace simple10 pts
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Qué hace cada rutina15 pts
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