当噪声并非处处相同 普通最小二乘拟合 y i = β 0 + β 1 x i + ε i y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i y i = β 0 + β 1 x i + ε i σ 2 \sigma^2 σ 2
Var ^ White ( β ^ ) = ( X T X ) − 1 ( ∑ i ε ^ i 2 x i x i T ) ( X T X ) − 1 \widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1} Var White ( β ^ ) = ( X T X ) − 1 ( i ∑ ε ^ i 2 x i x i T ) ( X T X ) − 1 (1) 后果是具体的。系数估计 β ^ \hat\beta β ^ t t t p p p σ 2 \sigma^2 σ 2 w i ∝ 1 / σ i 2 w_i\propto1/\sigma_i^2 w i ∝ 1/ σ i 2
同一个系数，不同的证据 某回归得到
β ^ = 0.25 \hat\beta=0.25 β ^ = 0.25 ，经典标准误为
0.10 0.10 0.10 ，所以
t = 2.5 t=2.5 t = 2.5 ，看上去显著。用对异方差稳健的标准误时，估计值不变但标准误变为
0.15 0.15 0.15 ，于是
t = 0.25 / 0.15 ≈ 1.67 t=0.25/0.15\approx1.67 t = 0.25/0.15 ≈ 1.67 ，在 5% 水平下不再显著。95% 区间从
0.25 ± 0.196 0.25\pm0.196 0.25 ± 0.196 变为
0.25 ± 1.96 ⋅ 0.15 = 0.25 ± 0.294 0.25\pm1.96\cdot0.15=0.25\pm0.294 0.25 ± 1.96 ⋅ 0.15 = 0.25 ± 0.294 ，现在包含零。至于权重，若误差方差按
x 2 x^2 x 2 增长，则
x = 2 x=2 x = 2 的观测权重为
1 / x 2 = 0.25 1/x^2=0.25 1/ x 2 = 0.25 。
异方差 ：误差方差随观测而变化。影响 ：系数仍然无偏，标准误和检验变得不可靠。补救 ：稳健（White）标准误，或权重 w i ∝ 1 / σ i 2 w_i\propto1/\sigma_i^2 w i ∝ 1/ σ i 2 先看残差 把残差对拟合值和对时间作图。漏斗形说明离散程度随水平增大，一阵大残差之后归于平静则说明波动率聚集。Breusch-Pagan 检验把这一点变成形式化的 p p p 实验：评分内容 异方差的含义 15 分 稳健 t 统计量 15 分 对回归的影响 15 分 诊断与修复 15 分 最小二乘权重 10 分 稳健区间 15 分 收益率回归需要稳健标准误 15 分 
