Heterocedasticidade e erros robustos

Quando o ruído não é o mesmo em toda parte

Os mínimos quadrados ordinários ajustam $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ e seus erros-padrão de livro-texto supõem homocedasticidade: a variância do erro $\sigma^2$ é a mesma para toda observação. Em finanças isso raramente é verdade. A volatilidade se agrupa (períodos calmos, depois turbulência) e o ruído em torno de uma relação costuma crescer com o tamanho da variável. Quando a dispersão dos erros muda, os dados são heterocedásticos.

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

As consequências são específicas. As estimativas $\hat\beta$ continuam não viesadas e consistentes, então a reta ajustada não está errada. Mas os erros-padrão usuais, e com eles as estatísticas $t$ , intervalos de confiança e valores $p$ construídos sobre eles, podem ser pequenos ou grandes demais, e as conclusões enganam. Dois remédios clássicos: os erros-padrão robustos à heterocedasticidade (White), que substituem a constante $\sigma^2$ pelo quadrado do resíduo de cada observação, e os mínimos quadrados ponderados, que dão menos peso às observações mais ruidosas, $w_i\propto1/\sigma_i^2$ , quando se sabe como a variância se comporta.

Mesmo coeficiente, evidência diferenteUma regressão dá

\hat\beta=0{,}25

com erro-padrão clássico de

0{,}10

, então

t=2{,}5

, aparentemente significativo. Com erros-padrão robustos à heterocedasticidade a estimativa é a mesma, mas o erro-padrão é

0{,}15

, então

t=0{,}25/0{,}15\approx1{,}67

, que já não é significativo a 5%. O intervalo de 95% passa de

0{,}25\pm0{,}196

para

0{,}25\pm1{,}96\cdot0{,}15=0{,}25\pm0{,}294

, que agora inclui o zero. Quanto aos pesos, se a variância do erro cresce como

x^2

, o peso de uma observação com

x=2

1/x^2=0{,}25

Heterocedasticidade: a variância do erro muda entre observações.
Efeito: os coeficientes continuam não viesados, os erros-padrão e os testes deixam de ser confiáveis.
Soluções: erros-padrão robustos (White) ou mínimos quadrados ponderados com $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

Olhe primeiro os resíduosFaça o gráfico dos resíduos contra os valores ajustados e contra o tempo. Um formato de funil significa que a dispersão cresce com o nível, e rajadas de resíduos grandes seguidas de calma indicam agrupamento de volatilidade. O teste de Breusch-Pagan transforma isso em um valor

p

formal. Como os erros-padrão robustos quase não custam nada em uma amostra grande, muitos profissionais os relatam por padrão para dados financeiros.

Lab: o que é avaliado

O que significa heterocedasticidade15 pts
Uma estatística t robusta15 pts
O que faz a uma regressão15 pts
Diagnosticar e reparar15 pts
Um peso de mínimos quadrados10 pts
Um intervalo robusto15 pts
Regressões de retornos precisam de erros robustos15 pts

Quando o ruído não é o mesmo em toda parte

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

Mesmo coeficiente, evidência diferenteUma regressão dá

\hat\beta=0{,}25

com erro-padrão clássico de

0{,}10

, então

t=2{,}5

, aparentemente significativo. Com erros-padrão robustos à heterocedasticidade a estimativa é a mesma, mas o erro-padrão é

0{,}15

, então

t=0{,}25/0{,}15\approx1{,}67

, que já não é significativo a 5%. O intervalo de 95% passa de

0{,}25\pm0{,}196

para

0{,}25\pm1{,}96\cdot0{,}15=0{,}25\pm0{,}294

, que agora inclui o zero. Quanto aos pesos, se a variância do erro cresce como

x^2

, o peso de uma observação com

x=2

1/x^2=0{,}25

Heterocedasticidade: a variância do erro muda entre observações.
Efeito: os coeficientes continuam não viesados, os erros-padrão e os testes deixam de ser confiáveis.
Soluções: erros-padrão robustos (White) ou mínimos quadrados ponderados com $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

p

formal. Como os erros-padrão robustos quase não custam nada em uma amostra grande, muitos profissionais os relatam por padrão para dados financeiros.

Lab: o que é avaliado

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Uma estatística t robusta15 pts
O que faz a uma regressão15 pts
Diagnosticar e reparar15 pts
Um peso de mínimos quadrados10 pts
Um intervalo robusto15 pts
Regressões de retornos precisam de erros robustos15 pts

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