عدم تجانس التباين والأخطاء المتينة

حين لا يكون الضجيج نفسه في كل مكان

تلائم المربعات الصغرى العادية $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ وتفترض أخطاؤها المعيارية الكتابية تجانس التباين: تباين الخطأ $\sigma^2$ نفسه لكل مشاهدة. وهذا نادرًا ما يصح في المالية. فالتقلب يتجمّع (فترات هادئة ثم اضطراب) وكثيرًا ما يكبر الضجيج حول علاقة بكبر المتغير. وحين يتغير تشتت الأخطاء تكون البيانات غير متجانسة التباين.

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

النتائج محددة. تبقى تقديرات $\hat\beta$ غير متحيزة ومتسقة فلا يكون المستقيم المطابَق خاطئًا. لكن الأخطاء المعيارية المعتادة، ومعها إحصاءات $t$ ومجالات الثقة وقيم $p$ المبنية عليها، قد تكون أصغر أو أكبر مما يجب فتضلل الاستنتاجات. وهناك علاجان معياريان: الأخطاء المعيارية المتينة أمام عدم تجانس التباين (وايت) التي تستبدل الثابت $\sigma^2$ بمربع متبقي كل مشاهدة، والمربعات الصغرى الموزونة التي تعطي المشاهدات الأكثر ضجيجًا وزنًا أقل $w_i\propto1/\sigma_i^2$ حين يُعرف سلوك التباين.

المعامل نفسه ودليل مختلفيعطي انحدار

\hat\beta=0.25

بخطأ معياري كلاسيكي

0.10

فيكون

t=2.5

أي دالًّا ظاهريًا. وبأخطاء معيارية متينة أمام عدم التجانس يبقى التقدير نفسه لكن الخطأ المعياري

0.15

فيكون

t=0.25/0.15\approx1.67

ولا يعود دالًّا عند 5٪. ويتغير مجال 95٪ من

0.25\pm0.196

إلى

0.25\pm1.96\cdot0.15=0.25\pm0.294

وهو الآن يشمل الصفر. وبالنسبة للأوزان إذا نما تباين الخطأ كـ

x^2

فوزن مشاهدة عندها

x=2

هو

1/x^2=0.25

عدم تجانس التباين: يتغير تباين الخطأ بين المشاهدات.
الأثر: تبقى المعاملات غير متحيزة وتفقد الأخطاء المعيارية والاختبارات موثوقيتها.
العلاج: أخطاء معيارية متينة (وايت) أو مربعات صغرى موزونة بـ $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

انظر إلى المتبقيات أولًاارسم المتبقيات مقابل القيم المطابَقة ومقابل الزمن. الشكل القمعي يعني أن التشتت يكبر مع المستوى، ودفعات المتبقيات الكبيرة التي يعقبها هدوء تعني تجمّع التقلب. ويحوّل اختبار بروش-باغان ذلك إلى قيمة

p

رسمية. ولأن الأخطاء المعيارية المتينة لا تكلّف شيئًا تقريبًا في عيّنة كبيرة فإن كثيرًا من الممارسين يعرضونها افتراضيًا للبيانات المالية.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

معنى عدم تجانس التباين15 نقطة
إحصاءة t متينة15 نقطة
ما تفعله بالانحدار15 نقطة
التشخيص والإصلاح15 نقطة
وزن مربعات صغرى10 نقطة
مجال متين15 نقطة
انحدارات العوائد تحتاج إلى أخطاء متينة15 نقطة

حين لا يكون الضجيج نفسه في كل مكان

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

المعامل نفسه ودليل مختلفيعطي انحدار

\hat\beta=0.25

بخطأ معياري كلاسيكي

0.10

فيكون

t=2.5

أي دالًّا ظاهريًا. وبأخطاء معيارية متينة أمام عدم التجانس يبقى التقدير نفسه لكن الخطأ المعياري

0.15

فيكون

t=0.25/0.15\approx1.67

ولا يعود دالًّا عند 5٪. ويتغير مجال 95٪ من

0.25\pm0.196

إلى

0.25\pm1.96\cdot0.15=0.25\pm0.294

وهو الآن يشمل الصفر. وبالنسبة للأوزان إذا نما تباين الخطأ كـ

x^2

فوزن مشاهدة عندها

x=2

هو

1/x^2=0.25

عدم تجانس التباين: يتغير تباين الخطأ بين المشاهدات.
الأثر: تبقى المعاملات غير متحيزة وتفقد الأخطاء المعيارية والاختبارات موثوقيتها.
العلاج: أخطاء معيارية متينة (وايت) أو مربعات صغرى موزونة بـ $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

p

المختبر: ما الذي يُقيَّم

معنى عدم تجانس التباين15 نقطة
إحصاءة t متينة15 نقطة
ما تفعله بالانحدار15 نقطة
التشخيص والإصلاح15 نقطة
وزن مربعات صغرى10 نقطة
مجال متين15 نقطة
انحدارات العوائد تحتاج إلى أخطاء متينة15 نقطة

عدم تجانس التباين والأخطاء المتينة

حين لا يكون الضجيج نفسه في كل مكان

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

عدم تجانس التباين والأخطاء المتينة

حين لا يكون الضجيج نفسه في كل مكان

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.