不均一分散とロバスト標準誤差

ノイズがどこでも同じとは限らない

最小二乗法は $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ を当てはめ、教科書どおりの標準誤差は等分散性、つまり誤差分散 $\sigma^2$ がすべての観測で同じであることを仮定します。金融ではそうなっていることはまれです。ボラティリティは集中し（穏やかな時期のあとに乱高下）、関係のまわりのノイズは変数の大きさとともに増えることがよくあります。誤差のばらつきが変わるとき、データは不均一分散です。

影響は具体的です。係数の推定値 $\hat\beta$ は不偏で一致性を保つので、当てはめた直線は誤りではありません。しかし通常の標準誤差、したがってそれに基づく $t$ 統計量・信頼区間・$p$ 値は小さすぎたり大きすぎたりし、結論を誤らせます。標準的な対処は2つあります。定数 $\sigma^2$ を各観測の残差の2乗で置き換える不均一分散に頑健な（ホワイトの）標準誤差と、分散の振る舞いが分かっているときにノイズの大きい観測の重みを下げる重み付き最小二乗法 $w_i\propto1/\sigma_i^2$ です。

• 不均一分散：誤差分散が観測ごとに変わること。
• 影響：係数は不偏のままだが、標準誤差と検定が信頼できなくなる。
• 対処：ホワイトのロバスト標準誤差、または $w_i\propto1/\sigma_i^2$ の重み付き最小二乗法。

ラボ：採点される内容

• 不均一分散の意味15点
• ロバストなt統計量15点
• 回帰への影響15点
• 診断と修正15点
• 最小二乗の重み10点
• ロバストな区間15点
• リターンの回帰にはロバスト標準誤差が必要15点