Heteroskedastizität und robuste Fehler

Wenn das Rauschen nicht überall gleich ist

Die gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate passt $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ an, und ihre Lehrbuch-Standardfehler setzen Homoskedastizität voraus: Die Fehlervarianz $\sigma^2$ ist für jede Beobachtung gleich. In der Finanzwelt trifft das selten zu. Volatilität clustert (ruhige Phasen, dann Turbulenz), und das Rauschen um eine Beziehung wächst oft mit der Größe der Variablen. Ändert sich die Streuung der Fehler, sind die Daten heteroskedastisch.

Die Folgen sind konkret. Die Schätzer $\hat\beta$ bleiben erwartungstreu und konsistent, die angepasste Gerade ist also nicht falsch. Aber die üblichen Standardfehler und damit die darauf beruhenden $t$-Statistiken, Konfidenzintervalle und $p$-Werte können zu klein oder zu groß sein, und die Schlüsse führen in die Irre. Zwei Standardmittel: heteroskedastizitätsrobuste (White-)Standardfehler, die die Konstante $\sigma^2$ durch das quadrierte Residuum jeder Beobachtung ersetzen, und gewichtete kleinste Quadrate, die verrauschteren Beobachtungen weniger Gewicht geben, $w_i\propto1/\sigma_i^2$, wenn man weiß, wie sich die Varianz verhält.

• Heteroskedastizität: Die Fehlervarianz ändert sich zwischen Beobachtungen.
• Wirkung: Koeffizienten bleiben erwartungstreu, Standardfehler und Tests werden unzuverlässig.
• Abhilfe: robuste (White-)Standardfehler oder gewichtete kleinste Quadrate mit $w_i\propto1/\sigma_i^2$.

Lab: Was bewertet wird

• Was Heteroskedastizität bedeutet15 Pkt.
• Eine robuste t-Statistik15 Pkt.
• Was sie mit einer Regression macht15 Pkt.
• Diagnose und Reparatur15 Pkt.
• Ein Kleinste-Quadrate-Gewicht10 Pkt.
• Ein robustes Intervall15 Pkt.
• Renditeregressionen brauchen robuste Fehler15 Pkt.