Heteroscedasticidad y errores robustos

Cuando el ruido no es el mismo en todas partes

Los mínimos cuadrados ordinarios ajustan $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ y sus errores estándar de manual suponen homoscedasticidad: la varianza del error $\sigma^2$ es la misma para toda observación. En finanzas rara vez es cierto. La volatilidad se agrupa (periodos tranquilos y luego turbulencia) y el ruido alrededor de una relación suele crecer con el tamaño de la variable. Cuando la dispersión de los errores cambia, los datos son heteroscedásticos.

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

Las consecuencias son concretas. Las estimaciones $\hat\beta$ siguen siendo insesgadas y consistentes, así que la recta ajustada no es errónea. Pero los errores estándar habituales, y con ellos los estadísticos $t$ , intervalos de confianza y valores $p$ que se construyen sobre ellos, pueden ser demasiado pequeños o grandes, y las conclusiones inducen a error. Dos remedios clásicos: los errores estándar robustos a la heteroscedasticidad (White), que sustituyen la constante $\sigma^2$ por el cuadrado del residuo de cada observación, y los mínimos cuadrados ponderados, que dan menos peso a las observaciones más ruidosas, $w_i\propto1/\sigma_i^2$ , cuando se sabe cómo se comporta la varianza.

Mismo coeficiente, evidencia distintaUna regresión da

\hat\beta=0{,}25

con un error estándar clásico de

0{,}10

, así que

t=2{,}5

, aparentemente significativo. Con errores estándar robustos a la heteroscedasticidad la estimación es la misma pero el error estándar es

0{,}15

, así que

t=0{,}25/0{,}15\approx1{,}67

, que ya no es significativo al 5 %. El intervalo del 95 % pasa de

0{,}25\pm0{,}196

0{,}25\pm1{,}96\cdot0{,}15=0{,}25\pm0{,}294

, que ahora incluye el cero. En cuanto a los pesos, si la varianza del error crece como

x^2

, el peso de una observación con

x=2

1/x^2=0{,}25

Heteroscedasticidad: la varianza del error cambia entre observaciones.
Efecto: los coeficientes siguen insesgados, los errores estándar y las pruebas dejan de ser fiables.
Soluciones: errores estándar robustos (White) o mínimos cuadrados ponderados con $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

Mire primero los residuosGrafique los residuos frente a los valores ajustados y frente al tiempo. Una forma de embudo indica que la dispersión crece con el nivel, y las ráfagas de residuos grandes seguidas de calma indican agrupamiento de volatilidad. La prueba de Breusch-Pagan lo convierte en un valor

p

formal. Como los errores estándar robustos casi no cuestan nada en una muestra grande, muchos profesionales los presentan por defecto con datos financieros.

Lab: qué se califica

Qué significa heteroscedasticidad15 pts
Un estadístico t robusto15 pts
Qué le hace a una regresión15 pts
Diagnosticar y reparar15 pts
Un peso de mínimos cuadrados10 pts
Un intervalo robusto15 pts
Las regresiones de rendimientos necesitan errores robustos15 pts

Cuando el ruido no es el mismo en todas partes

\widehat{\operatorname{Var}}_{\text{White}}(\hat\beta)=(X^{T}X)^{-1}\Big(\sum_i\hat\varepsilon_i^{2}\,\mathbf{x}_i\mathbf{x}_i^{T}\Big)(X^{T}X)^{-1}

(1)

Mismo coeficiente, evidencia distintaUna regresión da

\hat\beta=0{,}25

con un error estándar clásico de

0{,}10

, así que

t=2{,}5

, aparentemente significativo. Con errores estándar robustos a la heteroscedasticidad la estimación es la misma pero el error estándar es

0{,}15

, así que

t=0{,}25/0{,}15\approx1{,}67

, que ya no es significativo al 5 %. El intervalo del 95 % pasa de

0{,}25\pm0{,}196

0{,}25\pm1{,}96\cdot0{,}15=0{,}25\pm0{,}294

, que ahora incluye el cero. En cuanto a los pesos, si la varianza del error crece como

x^2

, el peso de una observación con

x=2

1/x^2=0{,}25

Heteroscedasticidad: la varianza del error cambia entre observaciones.
Efecto: los coeficientes siguen insesgados, los errores estándar y las pruebas dejan de ser fiables.
Soluciones: errores estándar robustos (White) o mínimos cuadrados ponderados con $w_i\propto1/\sigma_i^2$ .

p

formal. Como los errores estándar robustos casi no cuestan nada en una muestra grande, muchos profesionales los presentan por defecto con datos financieros.

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Diagnosticar y reparar15 pts
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