日收益率的一个模型
每个风险数字都从日收益率的模型开始。最简单的模型是用样本均值和标准差的正态曲线。学生 t 模型多一个数，即自由度 ν：ν 小表示厚尾，ν 大时 t 曲线就变成正态曲线。scipy.stats 给每个分布提供同样的四个方法：fit 用最大似然估计参数，logpdf 给出密度的对数，cdf 给出落在某个值以下的概率，ppf 是它的反函数，即分位数。学会一次，SciPy 里的每个分布都用法相同，换模型只是换一个词。
要在模型之间做选择，需要一个得分和一个检验。对数似然 log L=Σᵢlog f(rᵢ) 把整个样本在模型下的可能性加起来，赤池准则 AIC=2k-2log L（k 为拟合参数个数）对每多一个参数收取代价：越低越好。柯尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫检验衡量样本累积曲线与模型累积曲线之间的最大差距。stats.kstest(r, dist.cdf, args=params) 返回它和一个 p 值，p 值极小说明样本不像来自该模型。由于参数是在同一样本上拟合的，p 值偏乐观，所以用它来比较模型，而不是作最终裁决。最后模型变成风险数字：一日在险价值是分位数的相反数 -dist.ppf(alpha, *params)，坏日子的期望天数是样本量乘以 dist.cdf(-level, *params)。
真实数据的信息SPY 从 2016 年 9 月到 2026 年 8 月有 2,500 个日收益率。学生 t 拟合给出 ν≈2.6，尾部非常厚，AIC 比正态低 867。KS 检验拒绝正态曲线（p 值约 10⁻²⁵），但不拒绝 t（0.19）。1% 的在险价值在正态下是 2.57%，在 t 下是 3.12%。有 6 天跌幅超过 5%：正态曲线预计十年里只有 0.01 天，t 模型预计 7.9 天。超过 3% 的天数是 32，正态预计 8.6，t 预计 27。
- 处处是同样四个方法：
fit、logpdf、cdf、ppf适用于scipy.stats的每个分布，模型可以互换。 - 先打分再检验：AIC 在参数上收取代价来比较模型，KS 检验则问样本是否可能来自某个模型。
- 尾部计数暴露模型：数出低于 -5% 的天数并与
n * cdf比较，正态曲线会差几百倍。
实验：评分内容
- 某一列的日收益率10 分
- 两个拟合模型15 分
- 对数似然10 分
- 用 AIC 比较模型10 分
- 柯尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫 p 值15 分
- 由分位数得到在险价值10 分
- 极端日的观测与期望天数10 分
- 完整研究20 分