Un modèle pour le rendement quotidien
Tout chiffre de risque commence par un modèle du rendement quotidien. Le modèle le plus simple est une loi normale avec la moyenne et l'écart type de l'échantillon. Le modèle t de Student ajoute un nombre, les degrés de liberté ν : un petit ν signifie des queues épaisses, et quand ν est grand la loi t devient la loi normale. scipy.stats donne à chaque loi les mêmes quatre méthodes : fit trouve les paramètres par maximum de vraisemblance, logpdf donne le logarithme de la densité, cdf la probabilité de tomber sous une valeur et ppf son inverse, le quantile. Apprenez-les une fois et toutes les lois de SciPy fonctionnent pareil : changer de modèle revient à changer un mot.
Pour choisir entre des modèles, il faut un score et un test. La log-vraisemblance log L=Σᵢlog f(rᵢ) additionne la plausibilité de l'échantillon sous le modèle, et le critère d'Akaike AIC=2k-2log L, avec k le nombre de paramètres ajustés, fait payer chaque paramètre en plus : plus c'est bas, mieux c'est. Le test de Kolmogorov–Smirnov mesure le plus grand écart entre la courbe cumulée de l'échantillon et celle du modèle. stats.kstest(r, dist.cdf, args=params) le renvoie avec une p-valeur, et une p-valeur minuscule dit que l'échantillon ne ressemble pas à un tirage de ce modèle. Comme les paramètres ont été ajustés sur le même échantillon, la p-valeur est flatteuse : servez-vous-en pour comparer des modèles, pas comme verdict final. Enfin le modèle devient un chiffre de risque : la VaR à un jour est moins le quantile, -dist.ppf(alpha, *params), et le nombre attendu de mauvais jours est la taille de l'échantillon fois dist.cdf(-level, *params).
- Les mêmes quatre méthodes partout :
fit,logpdf,cdfetppfvalent pour toute loi descipy.stats, donc les modèles sont interchangeables. - Noter puis tester : l'AIC compare les modèles avec un prix par paramètre, le test KS demande si l'échantillon peut venir d'un modèle.
- Le décompte des queues démasque le modèle : comptez les jours sous -5 % et comparez-les à
n * cdf; la loi normale se trompe d'un facteur de plusieurs centaines.
Lab : ce qui est noté
- Rendements quotidiens d'une colonne10 pts
- Deux modèles ajustés15 pts
- Une log-vraisemblance10 pts
- Comparer les modèles avec l'AIC10 pts
- Une p-valeur de Kolmogorov–Smirnov15 pts
- Une VaR à partir d'un quantile10 pts
- Jours extrêmes observés et attendus10 pts
- L'étude complète20 pts