历史模拟法 VaR

带置信水平的损失上限

在险价值回答的是：在糟糕的一天（但不是最糟的一天）我可能亏多少？一日 95% 的 VaR 为 2%，意思是每 100 天里有 95 天亏损不应超过 2%。历史法不需要任何模型：取过去的收益率，排序，读出第 5 个百分位处的亏损，VaR 就是这个分位数取负。监管和风险限额到处都在用它，因为它是一个可以和限额比较的单一数字。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500)           # two years of daily returns

var_95 = -np.quantile(returns, 0.05)                    # minus the 5th percentile
var_99 = -np.quantile(returns, 0.01)
print(round(float(var_95), 5), round(float(var_99), 5))  # 0.01928 0.027  the 99% loss limit is larger

检验 VaR：突破次数

VaR 是一种预测，所以可以检验。突破指亏损超过 VaR 的那一天，即 return < -VaR。95% 的 VaR 预期约有 5% 的天数突破：多得多说明模型低估了风险，少得多则说明过于保守。监管机构以 250 天为窗口统计突破次数，正是为此。注意是严格不等号：恰好等于 VaR 的亏损不算突破。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500)
var_95 = -np.quantile(returns, 0.05)

exceptions = int(np.sum(returns < -var_95))
print(exceptions, "exceptions in", len(returns), "days; expected about", int(0.05 * len(returns)))     # 25 25

更长的期限，以及还原当时

经常要求 10 日 VaR。若每日收益相互独立，波动率随时间的平方根增长，因此平方根时间规则这样换算：VaR_T = VaR_1 * sqrt(T)。这只是近似，对厚尾和自相关的收益效果更差。诚实的回测还要尊重时间：第 t 天使用的 VaR 只能用第 t 天之前的收益，这与避免前视偏差是同一种纪律。滚动 VaR 就是用最近 n 天的窗口来做到这一点。

# The square-root-of-time rule for several horizons
import math

one_day = 0.0186
for days in (1, 5, 10, 20):
    print(days, round(one_day * math.sqrt(days), 4))        # 1: 0.0186, 5: 0.0416, 10: 0.0588, 20: 0.0832

import numpy as np

def historical_var(returns, confidence):
    return float(-np.quantile(returns, 1 - confidence))

def rolling_var(returns, window, confidence):
    out = np.full(len(returns), np.nan)
    for t in range(window, len(returns)):
        out[t] = historical_var(returns[t - window:t], confidence)      # the days BEFORE day t
    return out

rng = np.random.default_rng(3)
returns = rng.normal(0.0004, 0.012, size=500)
rolling = rolling_var(returns, 250, 0.99)
print(np.isnan(rolling[:250]).all(), round(float(rolling[250]), 5), round(float(rolling[-1]), 5))
exceptions = int(np.sum(returns[250:] < -rolling[250:]))
print(exceptions, "exceptions in", len(returns) - 250, "days (about 2 expected at 99%)")
print(round(historical_var(returns, 0.99) * np.sqrt(10), 5))                 # a 10-day figure by the square-root rule

• 历史 VaR 是过去收益率 (1 - confidence) 分位数取负（np.quantile）：无需模型的正损失比例。
• 通过统计突破（return < -VaR）来回测：约占 1 - confidence 的天数；更多说明 VaR 偏低。
• 用 var * sqrt(days) 换算期限；滚动窗口只用之前的天数；VaR 给出阈值，而不是超出部分的损失大小。

下一节：参数化 VaR，用正态分布而不是原始历史来计算同一个阈值。

实验：评分内容

• 用 historical_var 从历史中读出损失25 分
• 用 var_exceptions 统计突破次数25 分
• 用 scale_var 拉长期限25 分
• 用 rolling_var 还原当时的估计25 分