波动率

用一个数表示风险

波动率是收益率的标准差，以年为单位报告，以便比较不同资产：股票指数约 15% 到 20%，单只股票 30% 到 60%，现金接近 0。它用来确定仓位、给期权定价和设定风险限额。最简单的估计是窗口内的已实现波动率：收益率的样本标准差乘以 sqrt(每年期数)。它对窗口内每一天一视同仁，这既是优点（稳定）也是缺点（迟钝）。

import math
import numpy as np

# Eight quiet days, one -3% shock, three more days
returns = np.array([0.004, -0.002, 0.001, 0.003, -0.004, 0.002, 0.006, -0.001, -0.030, 0.004, 0.002, -0.003])

print(round(returns[:8].std(ddof=1) * math.sqrt(252), 4))    # 0.0526   before the shock: 5.3% a year
print(round(returns.std(ddof=1) * math.sqrt(252), 4))        # 0.1505   with the shock: 15.1% a year

反应更快：EWMA

波动率会聚集：平静期和动荡期各自会持续一段时间，所以昨天的冲击比一个月前的平静日更能说明明天。指数加权移动平均（EWMA，由 RiskMetrics 推广）每天更新方差：方差_t = lam * 方差_(t-1) + (1 - lam) * 收益率_t²。当 lam = 0.94 时，最新收益率占 6% 的权重，旧的按几何级数衰减。估计值在冲击时跳升然后逐渐衰减，而不是一直高到冲击离开窗口，再一下子落下来。

lam = 0.94
variance = np.empty(len(returns))
variance[0] = returns[0] ** 2
for t in range(1, len(returns)):
    variance[t] = lam * variance[t - 1] + (1 - lam) * returns[t] ** 2    # the recursion needs the previous value

ewma = np.sqrt(variance)
print(ewma.round(5).tolist())
# [0.004, 0.00391, 0.0038, 0.00375, 0.00377, 0.00369, 0.00387, 0.00376, 0.0082, 0.00801, 0.00778, 0.00758]
#                                                                       ^ the shock doubles the estimate, then it fades
print(round(ewma[-1] * math.sqrt(252), 4))     # 0.1204   today's annualised estimate

利用波幅与目标波动率

收盘价忽略了日内发生的事。每日的最高价和最低价包含更多信息：Parkinson 估计量 sqrt(mean(ln(high/low)²) / (4 ln 2)) 的效率是收盘到收盘估计的数倍，也就是用少得多的天数就能达到同样的精度（它假设日与日之间没有大跳空）。任何波动率估计的一个实际用途是波动率目标：如果你想要 10% 的风险而已实现波动率是 15%，就持有 10 / 15 = 0.67 的仓位。杠杆在动荡时收缩，在平静时放大。

high = np.array([101.5, 102.0, 103.2, 102.8, 104.0])
low = np.array([99.8, 100.9, 101.7, 101.1, 102.4])
parkinson = math.sqrt(np.mean(np.log(high / low) ** 2) / (4 * math.log(2)))
print(round(parkinson, 5))                      # 0.00905   per-day volatility from the daily ranges

target = 0.10
realized = returns.std(ddof=1) * math.sqrt(252)
print(round(target / realized, 3))              # 0.664   hold two thirds of the position to run at 10% risk

# Close-to-close versus range: the same five days
close = np.array([100.0, 101.2, 102.5, 101.9, 103.4])
print(round(float(np.diff(np.log(close)).std(ddof=1)), 5))     # 0.00955   from the closes only
print(round(parkinson, 5))                                      # 0.00905   from the high-low ranges of the same days

• 已实现波动率：样本标准差乘以 sqrt(每年期数)；稳定但反应慢。
• EWMA：方差_t = lam * 方差_(t-1) + (1 - lam) * 收益率_t²；近期冲击权重更大，并按几何级数衰减。
• Parkinson 使用每日最高/最低价区间；波动率目标按 目标 / 已实现 缩放仓位。

下一节：夏普比率，每单位风险的回报，以及它值得信任到什么程度。

实验：评分内容

• 用 realized_volatility 计算年化波动率25 分
• 用 ewma_volatility 让近期冲击权重更大25 分
• 用 parkinson_volatility 利用日内波幅25 分
• 用 volatility_target_leverage 按风险预算确定仓位25 分