线性回归（OLS）

用一个收益率解释另一个

股票很少单独行动：市场上涨时它通常也涨。线性回归通过给收益率对（x：市场，y：股票）拟合一条直线 y = alpha + beta * x 来量化这种联系。普通最小二乘法（OLS）选择使竖直距离（即残差）平方和最小的那条直线。结果有闭式解：斜率 beta 是 x 与 y 的协方差除以 x 的方差，截距 alpha 使直线经过均值点。

import numpy as np

market = np.array([0.010, -0.005, 0.004, 0.012, -0.008, 0.003, -0.002, 0.007, 0.001, -0.004])
asset  = np.array([0.013, -0.004, 0.007, 0.016, -0.011, 0.004, -0.001, 0.011, 0.002, -0.007])

dx = market - market.mean()                      # deviations of x from its mean
beta = (dx * (asset - asset.mean())).sum() / (dx ** 2).sum()
alpha = asset.mean() - beta * market.mean()
print(round(beta, 4), round(alpha, 5))           # 1.3271 0.00061   the asset moves 1.33 times as much as the market

残差与 R 方

残差是直线对某个观测没能解释的部分：y - (alpha + beta * x)。OLS 残差之和总是 0，且与 x 不相关，这是检查你自己代码的好办法。R 方表示直线解释了 y 变动的多大比例：1 - sum(残差²) / sum((y - mean_y)²)。它从 0（直线不比平均值好）到 1（所有点都在直线上），在简单回归中等于 x 与 y 相关系数的平方。

residuals = asset - (alpha + beta * market)
print(abs(residuals.sum()) < 1e-12, abs((residuals * market).sum()) < 1e-12)   # True True   the OLS fingerprints

ss_res = (residuals ** 2).sum()
ss_tot = ((asset - asset.mean()) ** 2).sum()
print(round(1 - ss_res / ss_tot, 4))                  # 0.9785
print(round(np.corrcoef(market, asset)[0, 1] ** 2, 4))   # 0.9785   the squared correlation

CAPM：贝塔与阿尔法

在金融中，这个回归有专门的名称。贝塔是对市场的敏感度：贝塔为 1.3 表示股票涨跌幅度往往比市场大 30%。阿尔法是扣除这部分市场敞口后剩下的平均收益，也是基金经理宣称的能力。为了排除无风险利率的影响，CAPM 回归使用超额收益：资产和市场的收益都减去无风险利率。阿尔法接近零的策略，只是披着外衣的市场敞口。

risk_free = 0.0001                                 # risk-free return of one day
x = market - risk_free                             # excess returns of the market
y = asset - risk_free                              # excess returns of the asset

beta = ((x - x.mean()) * (y - y.mean())).sum() / ((x - x.mean()) ** 2).sum()
alpha = y.mean() - beta * x.mean()
print(round(beta, 4), round(alpha, 6))             # 1.3271 0.000644   a daily alpha of 0.064%, on 10 days of data

# Points exactly on y = 1 + 2x: the fit recovers the line
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
y = 1 + 2 * x
dx = x - x.mean()
slope = (dx * (y - y.mean())).sum() / (dx ** 2).sum()
print(y.mean() - slope * x.mean(), slope)      # 1.0 2.0

• OLS 使残差平方和最小：beta = cov(x, y) / var(x)（中心化乘积之和），alpha = mean_y - beta * mean_x。
• 残差 y - (alpha + beta * x) 之和为 0；R 方 1 - ss_res / ss_tot 是被解释的方差占比。
• CAPM：把资产的超额收益对市场的超额收益回归；贝塔是市场敞口，阿尔法是剩余部分。

下一节：波动率，衡量并预测收益率的波动幅度。

实验：评分内容

• 用 ols_fit 为这些点拟合直线25 分
• 用 residuals 衡量直线没解释的部分25 分
• 用 r_squared 评估拟合优度25 分
• 用 capm_alpha_beta 把资产拆成市场敞口与能力25 分