CAPM 与贝塔

市场风险的一个数字

大多数股票在市场上涨时上涨，下跌时下跌。资产的贝塔度量涨跌的幅度：贝塔为 1.5，意味着市场变动 1% 时，资产平均变动 1.5%。它是资产收益对市场收益的斜率，covariance(asset, market) / variance(market)。贝塔是无法通过分散化消除的那部分风险，因为市场里每个资产都带着它。

import numpy as np

market = np.array([0.01, -0.02, 0.015, 0.005, -0.01, 0.02])
asset = 1.5 * market + np.array([0.002, -0.001, 0.003, 0.0, -0.002, 0.001])      # moves 1.5x the market, plus noise

market_dev = market - market.mean()
covariance = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / (len(market) - 1)
variance = np.sum(market_dev ** 2) / (len(market) - 1)
print(round(float(covariance / variance), 4))                 # 1.5972: about 1.5, the noise moves it a little
print(round(float(np.polyfit(market, asset, 1)[0]), 4))       # the regression slope gives the same number

# Beta does not care about a constant, and scales with the asset
import numpy as np

def beta(asset, market):
    market_dev = market - market.mean()
    return float(np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(4)
market = rng.normal(0, 0.01, size=100)
print(round(beta(2.5 * market, market), 4))               # 2.5   an asset that moves 2.5x the market
print(round(beta(market + 0.01, market), 4))              # 1.0   adding a constant changes nothing
print(round(beta(-market, market), 4))                    # -1.0  a perfect hedge

资本资产定价模型

CAPM 把它变成风险的价格。投资者只因承担市场风险而得到补偿，除此之外没有别的，所以资产的预期收益是无风险利率加上贝塔乘以市场风险溢价（市场收益减无风险利率）：E[R] = rf + beta * (E[R_m] - rf)。贝塔为 0 赚无风险利率，贝塔为 1 赚市场收益，贝塔为 2 赚无风险利率加两倍溢价。

def capm_expected_return(rf, beta_value, market_return):
    return rf + beta_value * (market_return - rf)

rf, market_return = 0.01, 0.06
for b in (0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0):
    print(b, round(capm_expected_return(rf, b, market_return), 4))     # 0.01, 0.035, 0.06, 0.085, 0.11

阿尔法：剩下的部分

如果 CAPM 成立，资产恰好赚到其贝塔所对应的收益。实际赚到的与 CAPM 预期的差，就是詹森阿尔法：mean(asset) - (rf + beta * (mean(market) - rf))。阿尔法为正，说明表现超过了其市场风险所能解释的部分；这正是主动管理人所兜售的东西，也是最难找到的。市场解释不了的那部分波动是残差风险，用回归残差的标准差度量，可以通过分散化消除。

# Alpha and residual risk of an asset with a little skill in it
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2)
market = rng.normal(0.0004, 0.01, size=500)
asset = 0.0003 + 1.2 * market + rng.normal(0, 0.005, size=500)       # true alpha 3 bps a day, beta 1.2, residual 0.5%
rf = 0.0001

market_dev = market - market.mean()
b = np.sum((asset - asset.mean()) * market_dev) / np.sum(market_dev ** 2)
alpha = asset.mean() - (rf + b * (market.mean() - rf))
a = asset.mean() - b * market.mean()
residual = asset - (a + b * market)
print(round(float(b), 3), round(float(alpha), 5), round(float(np.sqrt(np.sum(residual ** 2) / (len(asset) - 2))), 4))

• 贝塔 = covariance(asset, market) / variance(market)，对市场的斜率；是无法分散的风险部分。
• CAPM：rf + beta * (market - rf)；詹森阿尔法 = 平均收益减去它，即超出市场风险的能力（或运气）。
• 残差风险是 asset - (a + b * market) 的标准差（除以 n - 2）；可以分散；贝塔本身有噪声。

下一节：多因子模型（Fama–French），用市场之外的因子解释收益。

实验：评分内容

• 用 beta 度量对市场的敏感度25 分
• 用 capm_expected_return 给风险定价25 分
• 用 jensen_alpha 寻找超额能力（如果有的话）25 分
• 用 residual_vol 衡量剩余风险25 分